Bases ortogonales para espacios vectoriales de dimensión infinita

Question

Es bastante sencillo demostrar que todos los espacios vectoriales de dimensión finita con producto interior tienen una base ortogonal, con la definición estándar de base del álgebra lineal. Sin embargo, tengo problemas para encontrar alguna referencia sobre el caso de las dimensiones infinitas.

¿Tienen todos los espacios vectoriales de dimensión infinita con producto interior una base ortogonal (de nuevo con la definición estándar de base del álgebra lineal)?

Answer 1

Por tus comentarios (corrígeme si me equivoco), parece que utilizas "base" en el siguiente sentido:

un subconjunto linealmente independiente $B$ de un espacio vectorial $V$ tal que cada vector en $V$ puede escribirse como una combinación lineal finita de vectores de $B$ .

En el contexto de los espacios vectoriales de dimensión infinita, se suele llamar a este conjunto Bases de Hamel .

En ese caso, la respuesta a su pregunta es:

Algunos espacios de producto interno de dimensión infinita admiten una base ortogonal de Hamel; otros no.

Para uno que lo haga, considere el espacio vectorial de los polinomios, equipado con el producto interno $\langle p,q\rangle = \int_{-1}^1 p(x) q(x)\,dx$ (es decir, el $L^2([-1,1])$ producto interno. Entonces el Polinomios de Legendre forman una base ortogonal de Hamel.

Para uno que no lo hace, considere cualquier espacio de Hilbert separable de dimensión infinita $H$ (como $\ell^2$ ). Es una consecuencia del teorema de la categoría Baire que cualquier base de Hamel para $H$ es necesariamente incontable. Por otro lado, debido a la separabilidad, cualquier conjunto ortogonal es necesariamente como máximo contable. (Al reescalar podemos suponer que todos los vectores del conjunto son vectores unitarios; entonces todos están a distancia $1/\sqrt{2}$ entre sí. Si ponemos una bola de radio $1/2\sqrt{2}$ alrededor de cada una, esas bolas son disjuntas. Pero al ser separable, nuestro espacio tiene un subconjunto denso contable $E$ y cada una de estas bolas debe contener un elemento de $E$ .)