Para un cierto$\sigma$ - álgebra$A$ en la línea real, me gustaría mostrar que contiene los conjuntos de Borel. Puedo mostrar que$A$ contiene la línea derecha izquierda y derecha$(a,\infty)$ y$(-\infty,b)$ para cualquier número real$a$ y$b$. Mi pregunta es: ¿puedo inferir que$A$ contiene los conjuntos de Borel al solo demostrar que contiene la línea media izquierda o es obligatorio mostrar que$A$ contiene ambos medios líneas? No tengo claro cómo se generan los conjuntos de Borel a partir de intervalos de media línea y abiertos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¿Cuál es el complemento de uno de estos la mitad de las líneas? A continuación, considere la posibilidad de intersecciones, uniones, etc. En otras palabras, sí, si usted puede mostrar su $\sigma$-álgebra contiene $(a, \infty)$ cualquier $a$, que es suficiente... pero suena como que podría ser un buen ejercicio para demostrar esto. Aquí están algunos consejos:
¿Cuál es el complemento de a $(a, \infty)$?
Para$a< b$, ¿cuál es la intersección de a$(a, \infty)$$(-\infty, b]$?
Mostrar que un $\sigma$-álgebra que contiene todos los semi-abierta intervalos de $(a, b]$ contiene todos los conjuntos de Borel. De hecho, este a veces se toma como la definición, es decir, la Borel $\sigma$-álgebra es la $\sigma$-álgebra generada por la mitad a abrir los intervalos. Así, se puede hacer bien, o usted necesita mostrar que esto es equivalente a cualquier definición que usted está utilizando. (Sugerencia: en este punto usted tiene todos los intervalos de $(a, b-1/n]$ $n\in \mathbb N$ en la $\sigma$-álgebra.)
