Suma de una secuencia infinita

Question

Sea $$T_r=\frac{rx}{(1-x)(1-2x)(1-3x)\cdots(1-rx)}$$ ¿Puede alguien decirme cómo descomponer esta expresión en fracciones parciales (porque soy un poco débil en ello) para encontrar lo siguiente $$\sum_{r=2}^\infty T_r$$

Answer 1

$$ T_{r}(x) = \frac{rx}{\displaystyle{\prod_{k=1}^{r}(1-kx)}} $$

La idea principal es descomponer $$\frac{rx}{\displaystyle{\prod_{k=1}^{r}(1-kx)}} =\frac{A}{\displaystyle{\prod_{i=1}^{r-1}(1-ix)}}+\frac{B}{\displaystyle{\prod_{j={2}}^{r}(1-jx)}}$$ $$=\frac{A}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-(r-1)x)}+\frac{B}{(1-2x)(1-3x)\cdots(1-rx)} $$ $$ \frac{rx}{\displaystyle{\prod_{k=1}^{r}(1-kx)}} = \frac{A}{\displaystyle{\prod_{i=1}^{r-1}(1-ix)}}+\frac{B}{\displaystyle{\prod_{j=2}^{r}(1-jx)}} =\frac{A\cdot (1-rx)}{(1-rx)\displaystyle{\prod_{i=1}^{r-1}(1-ix)}}+\frac{B\cdot (1-x)}{\displaystyle{(1-x)\prod_{j=2}^{r}(1-jx)}} = \frac{(-B-rA)x+(A+B)}{\displaystyle{\prod_{k=1}^{r}(1-kx)}}$$

Entonces

$$A=\frac{r}{1-r}$$ $$B=\frac{-r}{1-r}$$

Al menos se puede descomponer de la siguiente manera:

$$ T_{r}(x)= \frac{r}{1-r}\left(\frac{1}{\displaystyle{\prod_{j=1}^{r-1}(1-jx)}}-\frac{1}{\displaystyle{\prod_{j=2}^{r}(1-jx)}}\right) $$ $$T_{r}(x)=\left(\frac{\displaystyle{\frac{r}{1-r}}}{\displaystyle{\prod_{j=1}^{r-1}(1-jx)}}-\frac{\displaystyle{\frac{r}{1-r}}}{\displaystyle{\prod_{j=2}^{r}(1-jx)}}\right)$$

Answer 2

Esta suma es telescópica con una descomposición diferente como sigue:

$$\begin{align} T_r&=\frac{rx}{\prod\limits_{k=1}^r1-kx}=\frac{1}{\prod\limits_{k=1}^{r}1-kx}-\frac{1-rx}{\prod\limits_{k=1}^{r}1-kx}=\frac{1}{\prod\limits_{k=1}^{r}1-kx}-\frac{1}{\prod\limits_{k=1}^{r-1}1-kx} \end{align}$$

Debe quedar bastante claro que $-\frac 1{1-x}$ estancias y todos los demás términos telescopio a $0$ . También es interesante observar que si comenzamos la suma en $r=1$ obtenemos el resultado $-1={x-1\over1-x}$ . Para saber cómo descomponer todos los términos directamente, sigue leyendo:

$$\begin{align}T_2&=\frac {2x}{(1-x)(1-2x)}=\frac A{1-2x}+\frac B{1-x}\\ 2x &= A(1-x)+B(1-2x)\to A=-B=2\\ T_2&=\frac 2{1-2x}-\frac 2{1-x}\\ T_3=\frac 32T_2\frac 1{1-3x}&=\frac 3{(1-2x)(1-3x)}-\frac 3{(1-x)(1-3x)}\\ &=\frac 9{1-3x}-\frac 6{1-2x}-\frac 9{2(1-3x)}+\frac 3{2(1-x)}\\ T_4=\frac 43T_3\frac 1{1-4x}&=\frac 6{(1-3x)(1-4x)}-\frac 8{(1-2x)(1-4x)}+\frac 2{(1-x)(1-4x)}\\ &=\dots \end{align}$$

Answer 3

Esto se simplifica bastante con un paquete de álgebra. Creo que las otras respuestas te dan el enfoque correcto para intentarlo a mano.

para x<>0.