Solo finitamente muchos géneros$g$ curvas proyectivas suaves sobre un campo finito

Question

En esta etiqueta el Ejercicio 101.56.7 dice:

Deje $k$ ser un campo finito. Deje $g > 1$. Boceto de una prueba de la siguiente: sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de suaves curvas proyectivas $k$ de género $g$.

Me pregunto si hay algunos enfoques a este problema más allá de la teoría de espacio de moduli.

En esta respuesta, el enfoque es utilizar alguna versión de la canónica de incrustación para mostrar que la curva puede ser realizado en algunos proyectiva del espacio mediante ecuaciones delimitada por un cierto grado, y, a continuación, observe que sólo hay un número finito de polinomios con un determinado número de variables y de grado por encima del $k$.

Sin embargo, me siento confundida acerca de algunos puntos de dicho enfoque. Primero de todo, es la incorporación de la curva proyectiva del espacio relacionado con el divisor en el campo finito de casos de la misma manera como la algebraicamente cerrado de campo de caso? Para encontrar un divisor de grado aproximadamente $2g+1$, creo que debe haber algún tipo de suposición de $k$-racional punto de $X$. En segundo lugar, es el número de polinomios necesarios para definir las $X$ en el proyectiva del espacio es limitado sólo por $g$? Si X no está completamente intersección, puede ser en gran medida hipersuperficie necesario en la definición de $X$. De nuevo, estoy un poco confundido sobre el grado en el que no algebraicamente cerrado de campo.

Gracias por la detallada explicación de la prueba del resultado del ejercicio anterior.

Answer 1

Esto comenzó como un comentario y se convirtió en mucho tiempo...

He aquí un bosquejo de cómo iba a hacerlo (hay varios detalles que siempre pop-up cuando se trata con los no-algebraicamente cerrado campos y no son especiales para este problema y por lo que he dejado fuera de esta respuesta).

Vamos a dividir en los casos de:

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No Hyperelliptic caso:

Aquí la idea es el uso que el divisor canónico $K_C$ es muy amplio (que puede ser mostrado por Riemann-Roch tipo de argumentos similares para el caso complejo) y se incrusta $C$ grado $2g-2$-curva en $\mathbb{P}^{g-1}$.

Esta incrustación sólo depende de la isomorfismo de clase de la curva y así define un mapa del conjunto de clases de isomorfismo de curvas para el conjunto de la $k$-puntos racionales de que el espacio de hilbert de género $g$ grado $2g-2$ curvas en $\mathbb{P}^{g-1}$ (modulo reparametrization):

$$\{ \text{genus $g$ non-hyperelliptic curves over $k$} \} \to Hilb_{g,2g-2}(\mathbb{P}^{g-1}_k)/PGL_{g} (k)$$

Este mapa es claramente inyectiva y el lado derecho es un conjunto finito, ya que es el conjunto de $k$-puntos racionales de un determinado tipo de esquema (con $k$-finito).

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Hyperelliptic caso

En este caso sabemos que los canónica de la incorporación de la $C$ factores a través de una $2$-pliegue de la cubierta de algunas suave curva cónica en $\mathbb{P}^2_k$. El conjunto de todas las suaves curvas cónicas son un subconjunto de puntos racionales de $\mathbb{P}^5$, por lo que es finito. Basta mostrar que dado un fijo liso cónica $X$ hay sólo un número finito de clases de isomorfismo de hyperelliptic curvas sobre él.

Pero la categoría de todas esas curvas es equivalente a la categoría de todos los cuadrática extensiones de $K(X)$ (supongamos ahora que la característica no es $2$ - de lo contrario, no estoy seguro de qué hacer). En este caso, debido a la Kummer teoría todas las extensiones cuadráticas son dadas por contigua $\sqrt f$ algunos $f \in K(X)^{\times}/K(X)^{\times 2}$. Este conjunto debe ser finito, desde algebraicas simples consideraciones que escapan de mí hasta ahora (lo siento...).

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Espero que esta era al menos un poco de ayuda.

Para un análisis cuidadoso de las curvas algebraicas más general campos recomiendo Qing Liu "la Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas".