Demostrar que, si $a,b,c$ son números reales positivos $\frac {a} {2a+b+c}+ \frac {b} {2b+a+c}+\frac {c} {2c+a+b}<\frac{19}{25}$

Question

Demostrar que, si $a,b,c$ son números reales positivos:

$$\frac {a} {2a+b+c}+ \frac {b} {2b+a+c}+\frac {c} {2c+a+b}<\frac{19}{25}$$

¿Se puede escribir la prueba sin necesidad de recurrir a las altas matemáticas?

Answer 1

La desigualdad es homogénea, es decir $(a,b,c)$ satisface la desigualdad si y sólo si $(ta,tb,tc)$ $\forall t>0$ satisface la desigualdad. Por lo tanto, podemos suponer que WLOG $a+b+c=1$ .

$$\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{2a+b+c}=\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{a+1}=$$

$$=\sum_{\text{cyc}}\left(1-\frac{1}{a+1}\right)=3-\sum_{\text{cyc}}\frac{1}{a+1}$$

Se puede utilizar la desigualdad de Cauchy Schwarz (CS) para demostrar que para la $a_i$ , positivo $b_i$ :

$$\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{b_i}\ge \frac{(\sum_{i=1}^n a_i)^2}{\sum_{i=1}^n b_i}$$

Para demostrarlo, multiplica ambos lados por $\sum_{i=1}^n b_i$ y utilizar CS.

$$3-\sum_{\text{cyc}}\frac{1}{a+1}\le 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}<\frac{19}{25}$$

Answer 2

Probaremos una desigualdad más fuerte: $$\sum_{cyc}\frac{a}{2a+b+c}\leq\frac{3}{4}$$ o $$\sum_{cyc}\left(\frac{1}{4}-\frac{a}{2a+b+c}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\frac{b+c-2a}{2a+b+c}\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\frac{c-a-(a-b)}{2a+b+c}\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\left(\frac{c-a}{2a+b+c}-\frac{a-b}{2a+b+c}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\left(\frac{a-b}{2b+c+a}-\frac{a-b}{2a+b+c}\right)\geq0$$ o

$$\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{(2a+b+c)(2b+a+c)}\geq0.$$ ¡Hecho!

Además, podemos usar C-S: $$\sum_{cyc}\frac{a}{2a+b+c}\leq\frac{1}{(1+3)^2} \sum_{cyc}a\left(\frac{1^2}{a}+\frac{3^3}{a+b+c}\right)=$$ $$=\frac{1}{16}\sum_{cyc}\left(1+\frac{9a}{a+b+c}\right)=\frac{3}{16}+\frac{9}{16}=\frac{3}{4}.$$