Probablemente que un $80\%$-persona veraz realidad rodado un $6$

Question

Una persona, $A$, habla de la verdad de $4$ $5$ veces. La persona que lanza un dado y los informes que se obtuvo un $6$. ¿Cuál es la probabilidad de que, en realidad, él rodó $6$?

Sé que hay una pregunta similar como este pero mis dudas son diferentes de él y también quiero a identificar y resolver total probabilidad el teorema de preguntas así que he publicado un lado la duda también. En mi intento, he definido los eventos

\begin{align*} E_1&: \text{The person tells the truth.} \\ E_2&: \text{The person lies.} \\ E_3&: \text{The person reports that the die landed on a 6.} \end{align*}

He notado que $P(E_1)=\frac{4}{5}$, $P(E_2)=\frac{1}{5}$, $P(E_3|E_1)=6^{-1}$ y $P(E_3|E_2)=0$ y obtuvo

\begin{align*} P(E_3) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \cdot 0 = \frac{2}{15}. \end{align*} Sin embargo, la respuesta correcta es, $\frac{4}{9}$. ¿Qué hice mal?

Lado de duda: a pesar de que el primer experimento (la verdad y la mentira) es diferente de la del segundo experimento, ¿se puede solicitar total probabilidad el teorema? En mi libro el dependiente experimento se encuentra en el interior del espacio muestral asociado con las condiciones mutuamente y exhaustiva de los acontecimientos.

Answer 1

Hay una cierta falta de información, a saber: Cuando habla mentira, de no mentir al azar, o con algún patrón? En particular, si el dado muestra como una $2$, por ejemplo, es igualmente probable que el informe de la $1,3,4,5$ o $6$ como el resultado?

Si suponemos que todos estos son igualmente probables, entonces la probabilidad de que los informes de una $6$, dado que un número distinto de $6$ fue rodada, sería $\frac15\cdot\frac15=\frac1{25}$. (La primera $\frac15$ es la probabilidad de que la mentira; el segundo $\frac15$ es la probabilidad de que "$6$" es el elegido mentira.) Por otro lado, la probabilidad de que los informes de una $6$ dado que un $6$ fue rodada, es $\frac45$. Por lo tanto, cuando se informa de un $6$, la probabilidad de que un seis en realidad era rodó es:

$$\frac{\frac16\cdot\frac45}{\frac16\cdot\frac45 + \frac56\cdot\frac1{25}}=\frac45$$

Si esa no es la respuesta, entonces, existe algún otro supuesto de que no sabemos acerca de. Tal vez él siempre se encuentra por informes "$6$" cuando no$6$ números de rodar? Si ese es el caso, entonces nuestro cálculo de los cambios:

$$\frac{\frac16\cdot\frac45}{\frac16\cdot\frac45 + \frac56\cdot\frac15}=\frac49$$

El problema debe ser realmente le preguntó en una manera que pone de manifiesto la mentira funciona realmente en esta situación. Si nos hacemos la pregunta, "es el resultado de una $6$?", entonces estamos en el último caso, porque, entonces está claro exactamente lo que una mentira se vería.

Answer 2

Hay dos problemas serios con su trabajo:

• $P(E_3|E_2)$ probablemente no es cero. No proporcionar la información detallada sobre cómo $A$ mentiras, pero es sin duda plausible, por ejemplo, que el $A$ rodar una $4$, y mintió diciendo que rodar una $6$.
• Se le pidió a encontrar la probabilidad de que el evento "$A$ rodar una $6$", pero ese evento no aparece en su modelo! Se trató de encontrar $P(E_3)$ lugar.

Como un aparte, su clave de respuestas parece asumir $A$ se encuentra en la extraña manera — que cuando él se encuentra sobre la tirada de dados él siempre le digo "yo obtener un $6$" si es posible, antes que cualquiera de los otros cuatro maneras de mentir.

Answer 3

Deje $D_{6}$ denotar el caso de que el dado cae en un $6$ $R_{6}$ denotar el caso de que la persona que informa de que aterrizó en un $6$. Usted sabe que \begin{align*} P(R_{6}|D_{6}) &= 0.8 \\ P(D_{6}) &= 6^{-1} \end{align*} Con el fin de obtener la respuesta correcta, también es necesario asumir que $P(R_{6}|D_{6}^{c})=0.2$, es decir, si la persona miente y no obtener un $6$, entonces él dice que él obtuvo un $6$.

Puesto que usted desea determinar $P(D_{6}|R_{6})$, que es una inversa de la probabilidad de $P(R_{6}|D_{6})$, una estrategia que suele funcionar es aplicar el teorema de Bayes. \begin{align*} P(D_{6}|R_{6}) &= \frac{P(D_{6})P(R_{6}|D_{6})} {P(D_{6})P(R_{6}|D_{6})+P(D_{6}^c)P(R_{6}|D_{6}^c)} \\ &= \frac{6^{-1} \cdot 0.8}{6^{-1} \cdot 0.8 + 5 \cdot 6^{-1} \cdot 0.2} = \frac{4}{9} \end{align*}

Answer 4

Veo que la pregunta ha sido editado mucho; estoy respondiendo a la versión actual (versión 7), que dice así:

"Una persona, Un, habla de la verdad de 4 fuera de 5 veces. La persona que lanza un dado y se informa de que obtuvo un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que, en realidad, él rodó un 6?"

Un tira el dado, se ve en el resultado, y , a continuación, afirma que el resultado es un 6. Desde Una sabía lo de la tirada fue cuando afirma "es un "6", y es que Una dice la verdad 4/5 de la época, sólo hay dos alternativas:

1. Una le dijo a la verdad, con una probabilidad de 4/5. El rollo es un 6.
2. Un lied, con una probabilidad de 1/5. El rollo no es un 6.

Por lo tanto, la probabilidad de que Un laminado de 6 es 4/5, y el 4/9 informe como "la respuesta correcta" es incorrecto. No hay ninguna razón para comenzar considerando lo que el rollo es, porque si es mentira, el rollo no puede ser un 6.

Answer 5

Varias respuestas ya muestran que la solución correcta es 4/9, pero quiero responder a la pregunta "¿Qué hice mal?"

Echemos un vistazo a su cálculo. Incluso si la persona que iba a decir la verdad todo el tiempo, su probabilidad sería 1/6. Pero si dice la verdad, él DEBE de haber lanzado un 6.

Usted ha olvidado tomar en cuenta que la persona ya te dije que él ha lanzado un 6. En su lugar, se calcula la probabilidad de antemano que la persona va a venir a usted, que le dice con la verdad que él ha lanzado un 6. Este es 2/15.

(Esto se puede comprobar fácilmente: La misma probabilidad vale para cualquier otro número, por lo que la probabilidad de que él le dirá cualquier número y hablar con la verdad, es 12/15 o 4/5, cual es la probabilidad de que él habla la verdad.)