si 2 variables aleatorias tienen exactamente la misma media y varianza

Question

Si dos variables aleatorias continuas tienen exactamente el mismo valor esperado y la misma varianza, ¿tienen siempre la misma distribución?

Answer 1

En resumen: No. Hay varias propiedades de una distribución de probabilidad que no tienen por qué afectar a su media y varianza, pero que sí determinan su forma.

Sesgo y curtosis

Por ejemplo, una distribución de Poisson con $\lambda = 1$ tiene un valor esperado $\lambda = 1$ y la varianza $\lambda = 1$ . También lo hace una distribución normal con $\mu = 1$ y $\sigma^2 = 1$ .

Un ejemplo con dos distribuciones continuas: Tomemos un distribución exponencial con $\lambda = 1$ , tal que su varianza es también $\lambda^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$ y compararlo con un distribución normal con $\mu = 1$ y $\sigma^2 = 1$ . Estos tienen el mismo valor esperado y la misma varianza, pero no se parecen en nada y producirán números muy diferentes:

En cuanto a lo que es diferente de estas distribuciones con igual media y varianza: Consideremos el sesgo y el exceso de curtosis de las distribuciones. Ambos son $0$ para la distribución normal, pero no para la distribución exponencial.

Multimodalidad

Como ha señalado @Glen_b, el sesgo y la curtosis no son lo único que hay que tener en cuenta. Otro ejemplo es la multimodalidad: Una distribución continua con múltiples modos puede tener la misma media y varianza que una distribución con un solo modo, aunque claramente no están idénticamente distribuidas.

Por ejemplo, consideremos una mezcla de dos distribuciones normales, cada una con $\sigma^2 = 1$ pero sus medios son $2$ y $-2$ respectivamente. La mezcla resultante tendrá una media de $\mu=0$ y una varianza de $\sigma^2 = 5$ que es la misma expectativa y varianza que una distribución normal simple $\mathcal{N}(0, 5)$ :

Si quieres probar por ti mismo, esto es bastante fácil de demostrar en R:

n <- 10e6             # some arbitrarily large sample size
y1 <- rnorm(n, -2, 1) # mixture component 1
y2 <- rnorm(n, 2, 1)  # mixture component 2
y.mixture <- c(y1, y2)
mean(y.mixture)
var(y.mixture)

Contra:

y.single <- rnorm(10e6, 0, sqrt(5)) # R parameterizes with sd instead of var
mean(y.single)
var(y.single)