¿Hay una explicación intuitiva del cálculo no para ¿por qué un polinomio de grado $n^{th}$ en la mayoría tiene puntos de inflexión de $n-1$?
La explicación de cálculo es bastante clara, pero hay una explicación "clásica"?
Respuesta
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Usted puede mostrar por pura álgebra que los puntos de inflexión se producen en argumentos que corresponden a lo que a menudo llamamos la derivada es cero.
Para la definición considerar un polinomio cúbico
$y=ax^3+bx^2+cx+d$.
Dicen que tiene un punto de inflexión en $x=x_0, y=y_0$. Para que funcione $y-y_0$ debe tener al menos una doble raíz en $x=x_0$. Por lo tanto el cociente
$\frac{y-y_0}{(x-x_0)^2}$
debe dar un cero resto cuando la división se lleva a cabo.
Hacer esta división con $y=ax^3+bx^2+cx+d$ como el anterior y se obtiene
$ax^3+bx^2+cx+d-y_0=Q(x-x_0)^2+R$
donde el cociente $Q$, y el resto, $R$ están dados por:
$Q=ax+(2ax_0+b)$
$R=(3a{x_0}^2+2bx_0+c)x+(a{x_0}^3+b{x_0}^2+cx_0+d-y_0)-(3a{x_0}^2+2bx_0+c)x_0$
El segundo término en el resto es automáticamente a cero debido a que $y_0$ se define como $ax^3+bx^2+cx+d$ evaluado en $x=x_0$, pero conseguir que el resto de que el resto también igual a cero requiere la satisfacción de una relación cuadrática
$3a{x_0}^2+2bx_0+c=0$
que es el "cero derivado de la" condición de un polinomio cúbico. Asimismo, para cualquier grado $n$ la condición para un punto de inflexión corresponde a un grado $n-1$ relación correspondiente a cero "derivado".
