Encontrar $k\in \mathbb N$ que maximiza la $\displaystyle f(k)=\frac{k^2}{1.001^k}$ (ningún cálculo o calculadoras)

Question

Dado: $k\in \mathbb N$ $\displaystyle f(k)=\frac{k^2}{1.001^k}.$

Encontrar: el valor de $k$ que maximiza $f(k)$

Esta es una pregunta que se hace en el concurso de matemáticas de precálculo a nivel. No hay calculadoras permitidas.

Utilizando el cálculo y una calculadora de registros es fácil ver que la respuesta es $k=2001$. Pero, ¿cómo podemos abordar el problema utilizando un enfoque factible para una competencia de matemáticas en el precálculo a nivel sin calculadoras?

Sin duda es cierto que para el maximizer $k$ sostiene que:

$$\frac{(k-1)^2}{1.001^{k-1}}<\frac{k^2}{1.001^k}\ \text{and}\ \ \frac{k^2}{1.001^k}>\frac{(k+1)^2}{1.001^{k+1}}$$

Pero mi desarrollos de esta condición no conduce a una dirección productiva de una solución obtenida sin una calculadora.

Sugerencias y soluciones son apreciados. Lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

Sabemos que tiene que satisfacer $$\frac{k^2}{1.001^k} > \frac{(k+1)^2}{1.001^{(k+1)}}\implies 1.001k^2 > k^2+2k+1 \implies 0.001k^2-2k-1 > 0 \implies k^2-2000k -1000 > 0 % que $k>2000$.

Ahora, en la segunda ecuación, $$\frac{k^2}{1.001^k} < \frac{(k+1)^2}{1.001^{(k+1)}}\implies 1.001k^2 < k^2+2k+1 \implies 0.001k^2-2k-1 < 0 \implies k^2-2000k -1000 < 0

así $k<2002$.

Y entonces, el valor máximo es cuando $k=2001$

Answer 2

El primer da de desigualdad (cancelar un factor de $1.001^{k-1}$)\begin{eqnarray*} 1001(k-1)^2 &<& 1000k^2 \\ k^2-2002k+1001 &<&0 \\ (k-1001)^2 &<&1001^2-1001 <1001^2 \\ k &<& 2002 \end{eqnarray *} semejantemente el desigualdad da $k>2000$.