Demostrar que el polinomio dado es irreducible en $\mathbb{Z}[X]$.

Question

Demostrar que si $p$ es un primer y $\gcd(n_1,...,n_p)=d$, entonces $$\dfrac{(\sum_{k=1}^px^{n_k})-p}{x^d-1}$$ is irreducible in $ \mathbb{Z}[X]$.

Todo lo que puedo hacer es escribir el numerador como $\sum(x^{n_k}-1)$ para probarlo es en $\mathbb{Z}[X]$ al hacer la factorización, pero no tengo ni idea en este ejemplo cómo se utiliza "p es primer" después de la factorización. ¿Alguien me da una pista?

Answer 1

Paso 1: Que $g(x)=\dfrac{\sum_{k=1}^p(x^{n_k}-1)}{x^d-1}$

Considerar el $g(x+1)$.

Paso 2: Con demostración de $d=\gcd(n_1,n_2,\ldots ,n_k)$de % que $h(x)=g(x+1)$ es un polinomio sobre $\Bbb Z$.

Paso 3: Aplicar el criterio de Eisenstein sobre el uso de $h(x+d)$ % prime $p$mostrarlo es irreducible.

Entonces $h(x+d)=g(x+d+1)$.

Paso 4: Uso $g(x) $ es irreducible es irreductible por cualquier $\iff g(x+k)$ $k\in \Bbb N$.

Answer 2

Aquí posteo una respuesta "delicada" que he encontrado:

Considerar este polinomio en $\mathbb{C}$. No es difícil demostrar que todas las raíces tienen norma $>1$. Pero en $\mathbb{Z}[X]$, si nosotros podríamos descomponer como el producto de 2, el término constante de cada uno debe $>1$, que es imposible, como $p$ primer...