¿Lo que ' s la relación entre el grupo de renormalización de Wilson (RG) en mecánica estadística y QFT RG?

Question

¿Cuál es la relación entre Wilson Renormalization Grupo(RG) en Mecánica Estadística y QFT RG? Para que sea más fácil comparar, elegir escalares $\phi^4$ en ambos casos.

Wilson RG: Dado $\phi^4$ modelo, $$Z=\int\mathcal{D}\phi(x)\exp[-\beta H[\phi(x)]]$$ $$\beta H[\phi(x)]=\int d^dx\left\{ \frac{k}{2}(\nabla\phi(x))^2 +\frac{t}{2}\phi^2(x)+\frac{u}{4!}\phi^4(x)\right\}$$ Hay una natural a los rayos UV-corte de $\Lambda_0$ por la mecánica estadística.

Integrar el impulso de shell de $\Lambda=\Lambda_0 e^{-l}$ $\Lambda_0$y cambiar la escala, podemos obtener la RG ecuación de flujo/función Beta:

$$\frac{du}{dl}=(4-d)u-\frac{3}{2}u^2\frac{K_d \Lambda_0^d}{(t+k\Lambda_0^2)^2} \tag 1$$ $$\frac{dt}{dl}=2t +\frac{u}{2}\frac{K_d\Lambda_0^d}{t+k\Lambda_0^2}\tag 2$$ con $K_d=S_d/(2\pi)^d$.

De alta energía de la QFT RG: Dado $\phi^4$ modelo, $$\mathcal{L}=\frac{1}{2} (\partial_\nu \phi_R)^2+ \frac{1}{2}m_R^2\phi_R^2+\frac{\mu^\epsilon g_R}{4!} \phi^4_R + \frac{1}{2}(Z_\phi-1) (\partial_\nu \phi_R)^2+ \frac{1}{2}(Z_m Z_\phi -1)m_R^2\phi_R^2+(Z_g Z^2_\phi-1)\frac{\mu^\epsilon g_R}{4!} \phi^4_R$$ con $\epsilon=4-D$, $D$ la dimensión espacio-tiempo, $\mu$ una masa arbitraria escala, $g_R, m_R$ adimensional normaliza los parámetros.

Utilizando dimensiones regurization, el impulso resta esquema, podemos obtener la RG ecuación de flujo en $D \rightarrow 4$ como este: $$\frac{\partial g_R}{\partial \ln\mu}=-\epsilon g_R+ \frac{3}{2}g_R^2+O(g_R^3) \tag 3$$ $$\frac{\partial m_R^2}{m_R^2 \partial \ln\mu}=\frac{K_4}{2}g_R + O(g_R^2)\tag 4$$

Mis preguntas:

1.Todo el mundo dice que Wilson RG es esencialmente el mismo que el QFT RG. No importa en la técnica o concepto que no se puede entender esta relación.

En primer lugar, en el concepto, Wilson RG describe cómo la efectiva parámetro de flujo de como ver el sistema en una más grande y de mayor tamaño.

En QFT, podemos calcular cualquier observable $\sigma$ $$\sigma = \sigma(m_0,g_0,\Lambda)$$ con $m_0$, $g_0$ el desnudo de parámetros, $\Lambda$ de la radiación UV-corte. Sin embargo, si usted arreglar el desnudo parámetros y hacer $\Lambda\rightarrow \infty$, entonces cada observable $\sigma$ debe ser divergentes. La única manera de salir es el uso de experimento para solucionar el algunos observables $\sigma$, entonces RG nos dice cómo desnuda parámetros debe crecer con la frecuencia de corte, que es $m_0(\Lambda), g_0(\Lambda)$, para mantener las características observables $\sigma(m_0(\Lambda),g_0(\Lambda),\Lambda)$ finito e independiente con la frecuencia de corte $\Lambda$. Así que ¿cuál es la relación?

2.En la técnica, especialmente a $(2),(4)$ son totalmente diferentes. Cómo ver explícitamente la Wilson RG $(1),(2)$ y QFT RG $(3),(4)$ son esencialmente iguales? (o, en sentido más débil que se puede tener el mismo Wilson-Fisher punto fijo? tienen el mismo exponente crítico?)

3.Por encima de cálculo sólo es $1$-loop. Aunque se puede mostrar en $1$-bucle son esencialmente iguales, como para demostrar que no son lo mismo en mayor bucle? Porque he oído que en QFT RG, coefficent de $g_R^3$ y superior dependerá de la regularización. Parece imposible Wilson RG es la misma que la QFT RG.

PS: Hay una pregunta relativa Relación entre Wilson enfoque renormalization grupo y 'estándar' RG Pero nuestras preguntas son totalmente diferentes.

Answer 1

Esto es por supuesto una muy sutil problema, y yo sólo arañar la superficie de aquí. Creo que la mejor referencia para esta pregunta es la discusión por B. Delamotte en arxiv:0702.365, Sección 2.6- "Perturbativa renormalizability, RG flujos, continuum límite asintótico de la libertad y todo eso..."

Aunque los dos enfoques parecen completamente diferentes, son, en esencia equivalente, en el sentido de que, mientras la expansión perturbativa tiene sentido, que dará a los mismos resultados : los mismos puntos fijos, los exponentes críticos, y así sucesivamente.

Más allá de un bucle, los dos métodos son completamente diferentes : en Wilson, uno genera nuevas interacciones en el lagrangiano ($\phi^6$ etc.), que son necesarias para obtener los puntos fijos en el orden de las $\epsilon^2$, por ejemplo. En el QFT RG, uno nunca generar nuevas interacciones en el lagrangiano, todo lo captado en $g_R$, que se utiliza para generar todos los vértices funciones (correspondiente a $\langle\phi^6\rangle$ y así sucesivamente). En realidad, lo que el perturbativa RG está haciendo en la práctica es el proyecto de la RG flujo en un determinado RG trayectoria (llamado L en la referencia anterior), que pueden ser parametrizadas por el flujo de $m^2_R$ $g_R$ (describiendo así el flujo de todas las otras interacciones en términos de$m^2_R$$g_R$).

Como dije en una respuesta anterior (ver a continuación) : En el Wilsonian enfoque, uno comienza desde la escala microscópica $\Lambda$ y mira lo que está pasando en menor energía, mientras que en la "norma", una de las correcciones que a escala macroscópica y se envía a $\Lambda\to\infty$ a fin de sonda más pequeña y más pequeña escala de energías.

Véase también Divergentes desnudo parámetros/acoplamientos: ¿cuál es el significado físico de la misma? ¿Esto tiene alguna relación con wilson renormalization grupo de enfoque? y ¿por Qué esperamos que nuestras teorías sean independientes de los puntos de corte?

Answer 2

Wilsonian RG es esencialmente el mismo que el de continuar QFT RG. En Renormalization, en realidad tenemos un par de Lambdas. Ellos son, una alta escala de la energía $\Lambda_H$, la baja escala de la energía $\Lambda_L$ y un físico a escala $E$. Se tiene la relación: $$E\ll\Lambda_L<\Lambda_H.$$ Tenga en cuenta que, en una discusión de RG, todos estos escala son fijos. Por ejemplo, $\Lambda_H$ puede ser la escala de Planck; $\Lambda_L$ puede ser la escala electrodébil y $E$ puede ser el exterior de la partícula de la energía. Hay, por supuesto, puede ser otro movimiento de la energía a escala de $\Lambda$ $$\Lambda_L\leq\Lambda\leq\Lambda_H$$ y juega el papel de la ejecución de la energía a escala.

(1) Ahora en Wilsonian, Integramos todos los anteriores modos $\Lambda$. A continuación, le pedimos por eso, los físicos observables no dependen $\Lambda$. Desde todas las características observables pueden ser obtenidos por la generación de funcional, tenemos la condición $$\Lambda\frac{\partial Z_\Lambda[J]}{\partial\Lambda}=0,\tag{1}$$ donde $Z_\Lambda[J]$ es la generación funcional cuando todos los anteriores modos $\Lambda$ se han integrado. Se puede obtener el RG de Eq.(1). La RG es sólo una relación entre los acoplamientos a diferentes escalas $\Lambda_L\leq\Lambda\leq\Lambda_H$. Para tener una expresión explícita de los acoplamientos, que, por supuesto, necesita una condición de contorno para la beta funciones. Generalmente, se establece $$g(\Lambda_L)=g_0.\tag{2}$$

(2) En continuar QFT, todavía tenemos $\Lambda_L$ (EW escala, por ejemplo), la física de la escala de $E$, y el movimiento de la energía a escala $\Lambda$. Donde es $\Lambda_H$? Bueno, se acaba el infinito: $\Lambda_H=\infty$. Ahora en continuar QFT renomalization, cuando hacemos la regularización (matemáticas), físicamente, sólo pedimos que las características observables se $\Lambda$independiente. Es decir, la regularización es esencialmente Eq.(1) en el disfraz. Entonces es claro que la Eq.(2) es el renormalization condición.

Comentario:

(i), El RGE son diferentes debido a que se utilizan diferentes variables. Por un lado, el uso de $l$, en el otro lado, el uso de $\mu$.

(ii), El hecho de que en Wilsonian, habrá de dimensiones superiores a los operadores (interacciones) generado, mientras que no hay en continuar QFT es trivial. En Wilsonian, cuando se toma el límite de $\Lambda_H\rightarrow\infty$, el de dimensiones superiores a los operadores de desaparecer también.