Ayudando a mis hijos en la clase de matemáticas de 3er grado hoy. Estábamos redondeando al número más cercano $10$ . Así que para $100$ los números que lo redondean son $95$ a $104$ . $95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104$ que son 10 números Pregunté cuántos números redondean a $100$ un niño dice 9 , digo yo 10 .
¿Por qué es $104-95=9$ no es la forma correcta de calcular la cantidad de números?
¿Cuál es la ecuación correcta, si es que la hay?
Este es un ejemplo del llamado problema del poste de la valla. Es así:
Supongamos que está construyendo una valla con raíles suspendidos entre los postes de la valla. La valla podría tener este aspecto: $$|=|=|=|=|=|$$ donde $|$ denota un puesto, y $=$ denota un riel. Si cada travesaño mide 3 metros, ¿cuántos postes se necesitan para hacer una valla de 15 metros de largo?
La respuesta es que necesitas 6 puestos. ¿Por qué no 5? Porque se necesita un poste en ambos extremos de la valla, por lo que siempre hay un poste más de los que hay en los raíles.
La misma idea se aplica a tu situación. Quieres contar el número de enteros que redondean a 100. Se trata de todos los enteros entre 95 y 104 (inclusive). La distancia de 95 a 104 es 104-95=9. Esto es como construir una valla de 9 pies de largo con travesaños de 1 pie de largo. Los números enteros son los postes. ¿Cuántos postes necesitas? Necesitas un poste más de los que tienes en las vallas, así que 10 postes. Hay 10 enteros entre 95 y 104 (inclusive). La ecuación a utilizar es $$\text{# of integers between $ a $ and $ b $ (inclusive)}=b-a+1.$$
¿Vale la pena comentar que si defines tu rango por "valor más bajo del rango" y "valor más bajo no en el rango", (un rango medio abierto) entonces se puede calcular el tamaño del rango restando los dos límites. Por eso, muchos programadores informáticos se han pasado a esa definición en los últimos 20 años.
Una diferencia $a-b$ mide la cantidad de lagunas entre los números $a$ y $b$ y siempre hay un hueco menos que los números que lo rodean.
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
Esto se debe a que se puede asociar cada hueco al número desde el que comienza, pero siempre debe haber otro número al final. Ningún hueco empieza ahí.
Esto significa una secuencia de números que comienza con $a$ y terminando en $b$ contiene $a-b\color{red}{+1}$ números.
Hacer los pasos
Piensa en hacer pasos . Cuando hiciste cinco pasos, dejaste seis huellas porque también hay una en el lugar donde empezaste.
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
Si quieres contar todos los enteros de $95$ a $104$ , entonces se quiere tomar los enteros de $1$ a $104$ y luego excluir a los de $1$ a $94$ . Así, $104-94=10$ . Si se resta $95$ Entonces estás excluyendo todo hasta $95$ .
Esto se llama el problema del poste de la cerca. Véase esta referencia para un tratamiento detallado.
Esta respuesta en particular me parece un poco insatisfactoria. Supongo que mi principal queja es la parte de "por lo tanto, siempre hay que hacer X" - lo único que hemos aprendido es que "cuando se calcula el tamaño del rango 1 a 1 con tal o cual método, hay que añadir uno". Pero no hay ninguna razón real para creer que "tal y tal método" es bueno, o que el error en otros rangos es también 1. Sé que una prueba totalmente formal es completamente inapropiada para esta cuestión, pero esta explicación parece perder demasiado poder de convicción en su intento de ser ampliamente accesible.
@DanielWagner: No quise añadir una prueba formal ya que las respuestas anteriores cubren el tema con suficiente detalle, esto fue un intento de mostrar que la simple diferencia entre límites no dará el resultado correcto. Por supuesto, la pregunta siguiente sería cuántos números hay del 1 al 2, y podemos demostrar la fórmula usando la inducción.
Creo que una respuesta más completa en este sentido también discutiría la cantidad de números entre 1 y 2. ¿Es 1? ¿O sigue siendo 0? Si es 1, entonces están contando las longitudes entre los números. Si es 0, entonces están contando los números "unidos" entre las diferentes longitudes. O bien, ¿están "contando" uno de los extremos? Esto da como resultado el mismo número que contar las "longitudes", pero se puede pensar de una manera diferente.
Con respecto al poste de la cerca, que es mi primera opción.
El vendedor de entradas - Está vendiendo entradas para una atracción, son \$10 each, and the roll of tickets starts with #95. After 30 minutes, you need to go to the restroom (you should have gone before the shift started?) and the manager runs over to review your cash. Tickets #95 - #104 are missing, how much cash do you expect the manager to count? \$ 100 105-114 serían las siguientes 10 entradas. Al restar, se pierde el primer billete.
Si el alumno no lo ve con facilidad, paso a lo siguiente: "Has vendido los billetes del 1 al 10. ¿Cuántos billetes has vendido? 9? No, 10, los boletos hicieron la cuenta. Así que del 11 al 20 es otra decena, no "20-11=9"
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es.wikipedia.org/wiki/Error de apagado
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También, math.stackexchange.com/questions/484393/
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Una divertida comprobación de cordura que puedes hacer para una ecuación propuesta: divide un intervalo en muchos trozos y suma los tamaños de los trozos. Por ejemplo, divide el intervalo 1-30 en los intervalos 1-10, 11-20 y 21-30. Utilizando la ecuación de la resta simple, los tres últimos trozos tendrían 9 elementos cada uno, lo que supone un total de 27 elementos en la combinación de los tres trozos, lo que claramente no puede ser correcto. Las ecuaciones que se proponen a continuación y que suman uno sí que superan esta comprobación de cordura, lo cual no es prueba de que sean correctas, pero sí es una prueba reconfortante de que van por el buen camino.
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Mis alumnos saben perfectamente que si asigno como tarea ejercicios de $95$ a $104$ página $239$ deben hacer DIEZ ejercicios, no nueve. Es una cuestión de "innumerabilidad". Recomiendo encarecidamente este libro es.wikipedia.org/wiki/Innumeración_(libro)
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¿Es posible que pensara que 100 no se redondea a 100 porque ya es 100 y que pensara que el redondeo a 100 sólo se aplica a los números que no son iguales a 100?
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Error de fuera a dentro. Por la misma razón que el número de pisos entre el segundo y el quinto piso es uno menos que el diferencia entre ellos. Piensa en ejemplos sencillos y manejables cuando intentes responder a este tipo de preguntas.
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@Raffaele ¿En serio? Pues eso me hace sentir mejor para sacar un máster en matemáticas en la UWisc aunque sea innumerable. Desde que recuerdo he tenido problemas con tablas y agujeros y números de problemas. Tengo que pensar mucho y hacer pequeños ejemplos para comprobar los más grandes. Dudo mucho que esto sea innumeración. Y si lo es por alguna definición entonces no es una definición muy útil.
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@DRF Así que crees que estar convencido de que de $1$ a $10$ hay $9$ números no es innumerable. ¿Y qué opina de la gente convencida de que $1$ km $^2$ es $1,000$ m $^2$ ? Doy clases desde 1980 y he visto cosas que ustedes no creerían: gente que escribe $0-0=impossible$ ... pero es tarde, es hora de jubilarse
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@Raffaele La cuestión es si es un niño de 4º de primaria o un adulto. Yo personalmente tuve que pensar en cuántos números hay del 1 al 2 para darme cuenta de que la respuesta correcta del 1 al 10 era el 10 y no el 11. Créeme que puedo entender tu dolor, yo enseñé cálculo temprano y pre-cálculo cuando estaba en la uni y se me salía la espuma de la boca cuando tenía al mismo estudiante calculando $(a+b)^2$ como $a^2+b^2$ por quinta vez en una semana. Creo que un niño de 3er grado no es innumerable porque se equivoque en algo así a la primera. Sin embargo, le atribuyo un crédito parcial a muchas de las respuestas 0-0=imposibles.
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@Raffaele: Los errores de fuera a dentro son notoriamente comunes, y en cierta medida se puede achacar al hecho de que tendemos a especificar intervalos de enteros por sus puntos finales. Hay una razón por la que los programadores -trabajadores técnicos que hacen un uso extensivo de tales intervalos- tienden a utilizar intervalos semiabiertos; por ejemplo, para especificar este intervalo como $[95,105)$ en lugar de $[95,104]$ .
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@Rafaelle todo depende de la edad de las personas a las que enseñes. Yo recuerdo cuando era muy joven y para mí la operación
3-5no tenía sentido: ¡un hombre no puede sacarte 5 caramelos si sólo tienes 3! Y años más tarde pensé que el sqrt(-1) no tenía sentido. La "innumerabilidad" afecta a todo el mundo hasta que tiene una comprensión más amplia de las matemáticas.