¿Cuándo examina una CAS a una familia?

Question

Érase una vez me dijeron que el toro es plana. Se suponía que esto iba a ser sorprendente, ya que el ordinario de la imagen de un toro que tenemos en nuestras cabezas se ve intrínsecamente curva. Sin embargo, el pensamiento en lugar de un toro como un cuadrado en el plano con puntos opuestos identificados, se convierte en "claro" que el toro al menos admite una métrica plana, debido a que el avión admite una métrica plana.

Sin embargo, una de dos orificios toro también puede ser obtenido de esta manera: es un octágono en el plano con un adecuado pares de bordes identificados. Sin embargo, por el de Gauss-Bonnet teorema, esta superficie no admite una métrica plana.

Por lo tanto, algo acerca de la manera de hacer las identificaciones de 1 toro es compatible con la métrica plana de la estructura en el plano, y esto no es así para el 2-toro. Estoy por lo tanto conducir a preguntar:

Dado un suave colector $M$ obtenido a partir de $\mathbb{R}^n$ por los correspondientes identificaciones, ¿existe algún criterio general para determinar si el plano métrico en $\mathbb{R}^n$ desciende a $M$? O es el $n$-dimensiones toro particularmente especial en su capacidad para heredar una métrica en el avión? Si es así, ¿qué tiene de especial?

Answer 1

El octágono con bordes identificados parece ser diferente porque no se puede azulejo en todo el piso (Euclidiana) plano con octógonos de tal manera que todo está bien al cruzar la "frontera" y pasar a la adyacente octágono.

En su lugar, usted puede embaldosar el plano hiperbólico con octágonos de la manera correcta. Por lo que el género-2 de superficie puede heredar la negativa de la curvatura de la métrica del plano hiperbólico. Imágenes: Wikipedia: Orden-8 octogonal mosaico

Answer 2

Deje $M$ ser un colector y $G$ un grupo discreto de actuar libremente y adecuada de forma discontinua, a continuación, $M/G$ es un colector. Si $g$ es una métrica de Riemann en $M$, luego se desciende a una métrica de Riemann en $M/G$ si y sólo si el grupo $G$ hechos por isometrías; para ser precisos, por 'desciende a una métrica de Riemann en $M/G$', me refiero a que no es una métrica de Riemann $g'$ $M/G$ tal que $g = \pi^*g'$ donde $\pi : M \to M/G$ es el cociente mapa. A ver cómo se construye $g'$$g$, ver esta respuesta donde me muestran que el nivel métrico en $\mathbb{R}^n$ desciende al toro $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$; aquí, el grupo $G = \mathbb{Z}^n$ está actuando por las traducciones que son isometrías de la métrica usual en $\mathbb{R}^n$.

Si $(M, g)$ plano, y $g$ es completa, entonces su cobertura universal es isométrico a $\mathbb{R}^n$ con su estándar métrico, por lo que cada plano del colector es un cociente de $\mathbb{R}^n$ con su estándar métrico por un discreto grupo de isometrías que actúa libremente; nota, cada grupo discreto de isometrías de $\mathbb{R}^n$ actúa correctamente de forma discontinua. Si además de la $M$ es compacto, entonces el grupo de acción es cocompact; un discreto grupo de isometrías que actúa cocompactly se llama un grupo cristalográfico, si también actúa libremente, es llamado un grupo de Bieberbach; nota, un grupo de Bieberbach, equivalentemente, puede ser definida como una torsión libre de cristalográfica grupo (esta es la definición habitual). Bieberbach mostró que un $n$-dimensiones cristalográfica grupo tiene un número finito de índice subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}^n$, del que se desprende que cada compacta plana colector es finitely cubierto por un toro.

Tenga en cuenta que no todos los subgrupos de isometrías de $\mathbb{R}^n$ da lugar a un colector plano ya que no puede actuar libremente en $\mathbb{R}^n$. Por ejemplo, cada isometría de $\mathbb{R}^2$ es una composición de reflexiones, rotaciones y traslaciones; las dos primeras transformaciones tienen puntos fijos, por lo que no actúan libremente en $\mathbb{R}^2$. Si el subgrupo de no actuar libremente, el cociente será un plano orbifold en lugar de un plano del colector. Por otra parte, cada plano orbifold surge de esta manera, ver Teorema $13.3.10$ de los Fundamentos de la Hiperbólico Colectores (segunda edición) por Ratcliffe. En particular, un cociente de $\mathbb{R}^n$ por un grupo cristalográfico que no es un Bieberbach grupo da un compacto orbifold que no es un colector.

Answer 3

Usted puede utilizar esta idea para poner un plano métrico (en un sentido) en cualquier superficie obtenida mediante la identificación de los bordes de un polígono en pares. Pero la métrica no será suave , a menos que cada vez que usted tiene un conjunto de vértices ser identificados, los ángulos en los vértices se suman exactamente $360^\circ$. Funciona de la plaza porque tiene cuatro $90^\circ$ ángulos de encuentro en un punto. A ver lo que sale mal, cortar un octágono regular de un pedazo de papel, luego se rompen ocho piezas que contiene los ocho vértices y tratar de cinta ellos todos juntos, para que todos los vértices se unen en un punto. Usted puede hacerlo, pero tendrás una forma que no puede ser aplanado, sin un montón de arrugas.

He aquí un ejemplo de un hexágono que funciona:

Los vértices etiquetados están todos identificados el uno con el otro, como son los vértices etiquetados B. Desde todos los ángulos miden $120^\circ$, cada conjunto de tres ángulos encaja para hacer una suave superficie plana. (La superficie resultante es homeomórficos al toro, como debe de ser porque tiene una métrica plana. Es un ejercicio interesante para probar esta directamente cortando y pegando.)

La razón por la que usted puede poner un suave hiperbólico métrica sobre una superficie de género $n=2$ o más es que mientras $n\ge 2$, es posible encontrar una regular $4n$cara geodésica de un polígono en el plano hiperbólico cuyos ángulos son todos exactamente $360^\circ/4n$, de modo que todos se unen para hacer una superficie lisa con una métrica hiperbólica.

Answer 4

Si el colector está cerrado, finito está cubierta por el toro de $n$-plana.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Flat_manifold