Aplicación de la descomposición de Hodge

Question

La descomposición de Hodge establece cualquier $p$ puede descomponerse en tres formas ortogonales $L^2$ componentes: forma exacta, forma coexacta y forma hamónica. Pero en realidad no sabemos cómo descomponer una general. Entonces, ¿cómo aplicar la descomposición a otros campos? Incluso si podemos descomponer uno, ¿qué implica?

Answer 1

Si $X$ es una variedad proyectiva suave sobre $\mathbb C$ (de forma equivalente, un submanifold complejo cerrado de $\mathbb C P^n$ ), entonces la cohomología de $X$ (con $\mathbb C$ coeficientes) tiene su descomposición de Hodge: $H^n(X, \mathbb C) = \oplus_{p+ q = n} H^{p,q}$ aquí $H^{p,q}$ consiste en una clase que puede ser representada por la armónica $(p,q)$ -formas.

(La descomposición surge al combinar la teoría de Hodge como se describe en el OP con una estructura adicional inducida por el hecho de que $X$ es un colector de Kahler).

Uno tiene simetría de Hodge: la conjugación compleja intercambia $H^{p,q}$ y $H^{q,p}$ y esto implica que tienen la misma dimensión.

La descomposición de Hodge y la simetría de Hodge implican, por ejemplo, que si $n$ es impar entonces la dimensión de $H^n(X,\mathbb C)$ está en paz. Esta es una importante restricción topológica en la topología de las variedades proyectivas complejas. Por ejemplo, implica que la Superficie de Hopf $(\mathbb C^2 \setminus \{0\})/ 2^{\mathbb Z}$ (aquí $2^{\mathbb Z}$ actúa por multiplicación escalar), que es una variedad compleja compacta, no puede incrustarse en el espacio proyectivo. (Su $H^1$ es unidimensional).

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Algunos otros ejemplos de aplicaciones:

• Descomposición de Lefschetz

• Teoremas de Torelli

• Muchos más, pero voy a publicar esto ahora

Answer 2

No estoy seguro de que esto sea el tipo de cosa que estás buscando, pero una aplicación agradable y rápida es una prueba de la dualidad de Poincare: En un $n$ -de las dimensiones de la colmena $M$ el operador estelar de Hodge, *, da un isomorfismo entre los armónicos $k$ formularios y $n-k$ formas. Esto se debe a que un formulario $\alpha$ es armónico si y sólo si $d \alpha = 0$ y $*d*\alpha = 0$ . Así, $H^k(M;\mathbb R) \simeq H^{n-k}(M;\mathbb R)$ .

Answer 3

Para la interacción de la teoría de Hodge y la física, véanse varios trabajos de Cantarella, deTurck y Gluck.