¿Cómo demostrar que algo es una contracción?

Question

Si dejamos que $X$ sea un espacio métrico completo, y sea $S:X\to X$ sea un mapa, tal que $S^m$ es una contracción. Ahora queremos demostrar que $S$ tiene un único punto fijo

Esto es lo que he pensado hasta ahora:

Debido al teorema del punto fijo de Banachs es suficiente demostrar, que $S$ es una contracción. Debido a $S^m$ siendo una contracción, sabemos esto sobre $S^m$ (la definición de ser una contracción): $$\exists\beta, 0\le\beta\lt1:d(S^mx,S^my)\le\beta d(x,y),\forall x,y\in X$$

No estoy muy seguro de cómo mostrar que S es una contracción.. ¿Alguna idea de cómo enfocar esto?

Answer 1

Si $x,y$ son puntos fijos de $S$ entonces $d(S^n x, S^n y) = d(x,y)\leq \beta d(x,y)$ de lo que se deduce que $d(x,y) = 0$ . Por lo tanto, hay como máximo un punto fijo.

Desde $S^n$ es una contracción, tiene un único punto fijo $x_0$ . Entonces tenemos $x_k = S^k x_0$ . Desde $x_{k+n} = x_k$ vemos que cada $x_0,...,x_{n-1}$ es un punto fijo de $S^n$ de lo que se deduce que $x_k = x_0$ para todos $k$ y por lo tanto $S x_0 = x_0$ .

Answer 2

Aquí hay otra forma de hacerlo, que es de un ejercicio de Teoría del punto fijo y aplicaciones Agarwal et al (2001).

En general, no es necesariamente cierto $\operatorname{S}$ es una contracción con respecto a $d$ . Pero puede serlo, siempre que se encuentre una nueva métrica $\sigma$ que se define como: $$\sigma(x,y): = d(x,y)+\frac{1}{\beta}d(\operatorname{S}x, \operatorname{S}y)+ \ldots+\frac{1}{\beta^{m-1}}d(\operatorname{S}^{m-1}x, \operatorname{S}^{m-1}y)$$

No es difícil demostrar que está calificada como métrica. Y lo hemos hecho: $$\sigma(\operatorname{S}x, \operatorname{S}y) = \beta \sigma(x,y) -\beta d(x,y) + \frac{1}{\beta^{m-1}}d(\operatorname{S}^{m}x, \operatorname{S}^{m}y)$$ Por lo tanto, $\sigma(\operatorname{S}x, \operatorname{S}y) \leq \beta \sigma(x,y)$ .