Derivación de la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss

Question

Llevo un par de días pensando en esto. Pido disculpas si mi explicación no es muy clara.

Ya he visto derivaciones de esto, pero aún no estoy satisfecho.

En las derivaciones de la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss que he visto, tomamos una envoltura esférica de radio $r$ alrededor de una carga puntual y calcular el flujo eléctrico que la atraviesa.

$$\oint\limits_A \vec{E}\cdot d\vec{A} = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \Rightarrow E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$$

Sin embargo, lo que se supone aquí es que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie y tiene la misma magnitud en todos los puntos de la cáscara esférica. La ley de Gauss no lo dice explícitamente, pero la ley de Coulomb nos da explícitamente la magnitud y la dirección de la fuerza entre dos cargas (y, por tanto, la dirección del campo eléctrico de una sola carga).

¿Estoy en lo cierto al pensar que, además de la ley de Gauss, también tenemos que afirmar (como otra ley) que el campo eléctrico de una carga puntual apunta radialmente hacia fuera (o hacia dentro), y que su magnitud sólo depende de la distancia a la carga puntual?

Otra forma de formular mi pregunta sería: ¿está esta "otra ley" oculta de algún modo en la ley de Gauss?

Answer 1

Tienes razón en que la ley de Gauss por sí sola no puede utilizarse para derivar la ley de Coulomb. En su lugar, hay que complementarla con la hipótesis de que el espacio es isótropo, pero nada más.

La cosa está realmente en el lenguaje. Empiezas con la ley de Gauss, y luego dices "considera una carga puntual...", sin decir realmente mucho sobre lo que quieres decir con eso. En concreto, es no suficiente para decir "es esta cosa que tiene carga pero volumen cero", porque los dipolos eléctricos puntuales también ocupan volumen cero y son bestias muy diferentes de las cargas puntuales (y de hecho se podrían combinar las dos para hacer un objeto sin carga puntual que "tiene carga pero volumen cero").

Lo que entiendes por carga puntual, entonces, es un poco más fuerte, y en concreto te refieres a que es un objeto esféricamente simétrico: no tiene sentido hablar de "girar" una carga puntual.

Además, hay que suponer que el electromagnetismo también es rotacionalmente simétrico: si giras un conjunto de cargas, obtendrás un conjunto de campos girados. Esto no está incluido en la ley de Gauss, pero es una suposición bastante razonable para añadir.

Si tienes ambas cosas, el resultado es el siguiente:

• El campo eléctrico producido en $\mathbf r$ por una carga puntual en $\mathbf r_0$ debe apuntar a lo largo de $\mathbf r-\mathbf r_0$ porque si giras el mundo alrededor de ese eje, las cargas no cambian, por lo que los campos no pueden cambiar.
• El campo eléctrico producido en $\mathbf r_1$ y $\mathbf r_2$ producida por una carga puntual en $\mathbf r_0$ donde ambos puntos están a la misma distancia $|\mathbf r_1-\mathbf r_0|=|\mathbf r_2 - \mathbf r_0|$ de la carga puntual, debe tener igual magnitud, porque ambos puntos están relacionados por una rotación alrededor de $\mathbf r_0$ que preserva la configuración de carga.

Sin embargo, es importante recordar que no es la ley de Gauss por sí sola la que nos lleva hasta ahí, sino que necesitamos la suposición de isotropía.