La probabilidad de cada uno de los tres Navidad budines tener exactamente 2 monedas

Question

Un cocinero hace ciruela pudines de Navidad. Él agita 6 monedas en la mezcla de pudín a fondo antes de su división en tres partes iguales. ¿Cuál es la probabilidad que hay 2 monedas en cada pudín?

La respuesta es 10/81, pero no puedo averiguar cómo llegar a esta respuesta.

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Lo que he trabajado hasta ahora:

A = pudín Una tiene exactamente 2 monedas

$P(A) = P(B) = P(C) = {6\choose 2}(1/3)^2(2/3)^4$

$P(A~\text{or}~B~\text{or}~C) = 3P(A) - 2P(A~\text{and}~B~\text{and}~C)$ [debido a $P(A~\text{and}~B) = P(A~\text{and}~B~\text{and}~C)$]

así

$P(A~\text{and}~B~\text{and}~C) = 3P(A)/2P(A~\text{or}~B~\text{or}~C)$

así que supongo que sólo tengo que averiguar lo $P(A~\text{or}~B~\text{or}~C)$ es.

Answer 1

Llame al número de piezas en cada sección $A$, $B$, y $C$. Debido a $A+B+C=6$, usted está interesado en $Pr(A=2, B=2) = Pr(B=2|A=2)Pr(A=2)$.

$Pr(A=2)$ es un simple cálculo binomial: $A\sim Binom(6, 1/3)$, lo $Pr(A=2) = {6\choose 2}(1/3)^2(2/3)^4 = 80/243$.

Acondicionado en $A$ tener dos piezas, $B\sim Binom(4, 1/2)$, lo $Pr(B=2|A=2) = {4\choose 2}(1/2)^4 = 3/8$.

La multiplicación de estos juntos, llegamos a la conclusión de que $Pr(A=2, B=2) = 10/81$.

Answer 2

Usted no debería usar la distribución binomial aquí ya que es un multinominal problema de distribución (una generalización de la binomial).

Así que vamos a recopilar lo que tenemos:

n = 6 (total number of events)
n1 = 2 in part 1 (pudding #1)
n2 = 2 in part 2 (pudding #2)
n3 = 2 in part 3 (pudding #3)
p1 = 2/6 (probability to get 2 from n1)
p2 = 2/6 (probability to get 2 from n2)
p3 = 2/6 (probability to get 2 from n3)

la fórmula es como sigue:

así que vamos a poner los números en movimiento:

$p = \frac{6!}{(2!*2!*2!)} *(\frac{2}{6})^2 * (\frac{2}{6})^2 * (\frac{2}{6})^2 = 0.12345 $

y llegamos

10/81