¿Cómo puedo encontrar todos los campos intermedios entre $\mathbb{Q}\left(\sqrt[d]{a}\right)$ y $\mathbb{Q}$ ?

Question

Dejemos que $a$ sea un número racional positivo, $n$ sea un número natural, y $K$ sea un campo de extensión de $\mathbb{Q}$ con $\sqrt[n]{a}$ .

Supongo que ese campo intermedio $E$ entre $K$ y $\mathbb{Q}$ con $\left[E:\mathbb{Q}\right]=d$ ( $d\mid n$ ) es único ya que $\mathbb{Q}\left(\sqrt[d]{a}\right)$ . Pero no puedo probar esta suposición. Si $\mathbb{Q}$ tiene una raíz de unidad $\zeta_{n}$ Debería ser tan fácil. Pero no lo es. ¿Cómo puedo probar que sin $\zeta_{n}$ ?

¿Y existe una fórmula para computar $\text{Gal}\left(x^{n}-a\right)$ ?

Answer 1

Esta resulta ser una pregunta sorprendentemente difícil, pero es cierto que los campos intermedios son precisamente los de la forma $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt[d]{a}\bigr)$ para $d$ un divisor de $n$ .

En general, si $a_1,\ldots,a_t$ son números racionales positivos y $n_1,\ldots,n_t$ son números naturales, entonces todo campo intermedio entre $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt[n_1]{a_1},\ldots,\sqrt[n_t]{a_t}\bigr)$ está generada por monomios en las raíces $\sqrt[n_i]{a_i}$ .

Puede encontrar este resultado demostrado inmediatamente después del Teorema 1.6 en Greither, Cornelius, y David K. Harrison. "Una correspondencia de Galois para extensiones radicales de campos". Revista de Álgebra Pura y Aplicada 43.3 (1986): 257-270. En general, demostrar resultados como éste aparentemente implica algo llamado "teoría de cogalois", que implica una "correspondencia de cogalois" entre campos intermedios de una "extensión de cogalois" y subgrupos del "grupo de cogalois". El artículo vinculado de 1986 parece haber sido el comienzo de este tema, pero desde entonces se han escrito libros enteros sobre ello .

El campo de división de $x^n - a$ est $\mathbb{Q}\bigl(\sqrt[n]{a},\zeta\bigr)$ , donde $\zeta$ es una primitiva $n$ raíz de la unidad. El grupo de Galois de $x^n - a$ es difícil de analizar en general. Se ajusta a una corta secuencia exacta $$ \mathrm{Gal}\bigl(\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a},\zeta)\,\bigr/\,\mathbb{Q}(\zeta)\bigr) \;\longrightarrow\; \mathrm{Gal}\bigl(\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a},\zeta)\,\bigr/\,\mathbb{Q}\bigr) \;\longrightarrow\; \mathrm{Gal}\bigl(\mathbb{Q}(\zeta)\,\bigr/\,\mathbb{Q}\bigr) $$ donde:

• $\mathrm{Gal}\bigl(\mathbb{Q}(\zeta)\,\bigr/\,\mathbb{Q}\bigr) \,\cong\, (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ el grupo multiplicativo de las unidades módulo $n$ .

• $\mathrm{Gal}\bigl(\mathbb{Q}(\sqrt[n]{a},\zeta)\,\bigr/\,\mathbb{Q}(\zeta)\bigr) \,\cong\, \mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ , donde $r$ es el menor número entero positivo para el que $\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^r$ yace en el campo $\mathbb{Q}(\zeta)$ .

Tenga en cuenta que $r$ en general puede ser un divisor de $n$ . Por ejemplo, aunque $x^8-2$ es irreducible sobre los racionales, el campo ciclotómico $\mathbb{Q}\bigl(e^{i\pi/4}\bigr)$ contiene $\sqrt{2}$ Entonces $x^8-2$ factores en $(x^4-\sqrt{2})(x^4-\sqrt{2})$ sobre este campo, por lo que en este caso $r=4$ . Según la secuencia anterior, el grupo de Galois es alguna extensión de $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ por $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ y resulta ser el grupo diedro de orden 16.

En el caso de que $r=n$ la secuencia se divide y el grupo de Galois es isomorfo al producto semidirecto $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \rtimes (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ con la acción obvia. Es fácil comprobar en este caso que todos los campos intermedios son generados por potencias de $\sqrt[n]{a}$ .

Para $r<n$ obtenemos alguna extensión de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ por $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ pero no parece haber ninguna descripción general sencilla de esta extensión. De nuevo, no soy un experto en la teoría de Galois, y no sé prácticamente nada sobre la teoría de cogalois, así que es posible que exista una buena descripción en algún lugar de la literatura.