Pregunta sobre el espacio vectorial de dimensión finita

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ un campo finito de dos elementos. ¿Es posible encontrar la suma $$\sum_{v\in V}v$$ ?

Answer 1

Dejemos que $n=\dim_F V$ . Si $n=0$ entonces la suma es trivial $\mathbf0_V$ el vector cero de $V$ . Para $n\geq1$ , considere un isomorfismo lineal $T:F^n\to V$ . En particular, su suma requerida es igual a $T\bigl(\sum_{w\in F^n}w\bigr)$ y la suma interna, en el caso $n\geq2$ se puede reescribir como

$$\sum_{v\in F^{n-1}}\bigl[(0,v)+(1,v)\bigr]=\sum_{v\in F^{n-1}}(1,2v)=\sum_{v\in F^{n-1}}\bigl(1,\mathbf0_{F_{n-1}}\bigr)=\bigl|F^{n-1}\bigr|\,\bigl(1,\mathbf0_{F_{n-1}}\bigr)=2^{n-1}\bigl(1,\mathbf0_{F_{n-1}}\bigr)=\mathbf0_{F^n}\,,$$

y así su suma también es $\mathbf0_V$ en este caso. Por último, si $n=1$ entonces $F^1=\{0,1\}$ por lo que su suma será igual al único vector no nulo en $V$ .

Answer 2

Cuando $V={0}$ la suma es $0$ . Cuando $V=F$ la suma es $1$ . Cuando $V=F^2$ hay cuatro elementos a considerar y la suma es $(0,0)$ . Cuando $V=F^3$ hay ocho elementos a considerar y la suma es $(0,0,0)$ . Esto debería darnos la pista de que para $F^n$ con $n>1$ la suma es la $0$ vectorial. Para demostrarlo consideremos sólo la primera coordenada de la suma. Será $0$ si el número total de $1$ que aparecen en la primera coordenada de todos los vectores en $F^n$ es par. En efecto, fijando la primera coordenada como $1$ las otras coordenadas se pueden elegir libremente entre $F$ y por eso hay precisamente $2^{n-1}$ tales vectores. Dado que $n>1$ este número es par. Por supuesto, el mismo razonamiento es válido para todas las coordenadas, estableciendo así la afirmación. Ahora, terminemos la prueba adoptando la prueba anterior para la abstracción $V$ o al observar que cualquier $n$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ en $F$ es isomorfo a $F^n$ .

Answer 3

Desde $F=\{0,1\}$ un campo vectorial de dimensión $N$ tiene $2^N$ vectores. La suma de todos estos vectores puede calcularse observando que para cada dimensión, exactamente la mitad de los elementos son $1$ para que la suma sea (para todo $N>1$ ): $$\sum_{v\in V} v = \sum_{i=1}^{2^{N-1}}\{1,1,1...\}=\{0,0,0...\}$$

Answer 4

Dejemos que $n$ sea la dimensión de $V$ en $F$ para que $V$ coincide con el $n$ -múltiples de $F$ . Dejemos que $f : V \to V$ se define por $f : v \mapsto v+(1,...,1,1)$ . Observe que $f(v_1)=f(v_2)$ si $v_1=v_2$ así que $f$ es biyectiva. Por lo tanto, existe $W \subset V$ tal que $|W|=|V|/2$ y $\sum\limits_{v \in V} v= \sum\limits_{v \in W} v+f(v)=\sum\limits_{v \in W} (1,...,1,1)$ . Si $n \geq 2$ , $|W|$ es divisible por $2$ así que $\sum\limits_{v \in V} v= (0,...,0,0)$ .

Pero para $n=1$ , $\sum\limits_{v \in V} = 1$ ¡!