La función de escritura como infinito de Fourier suma con seno del núcleo

Question

Deje $f\in L^2(\mathbb{R})$ ser tal que $\hat{f}$ es compatible en $[-\pi,\pi]$. También, $f$ es continua y va a $0$$\pm \infty$. Deje $K(y)=\dfrac{1}{\pi y}\sin(\pi y)$. Mostrar que $f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty f(n)K(x-n)$ por cada $x$.

Esto se ve como una suma de Fourier de algún tipo, pero es bastante extraño que el índice de $n$$-\infty$$\infty$. ¿Cómo nos acercamos a ella?

Answer 1

Descargo de responsabilidad: yo hago todo el cálculo a continuación, sin ninguna atención a los factores de $2\pi$. Nadie podrá jamás hacer eso, es malo. Pero las ideas están ahí y no tengo mucho tiempo.

Nos pusimos $BL^2 := \{f \in L^2 (\mathbb R) \mid \hat f = 0 \text{ almost everywhere on }\mathbb R \setminus [-\pi,\pi]\}$

Primero observar que $f\in BL^2 \Rightarrow f\in L^2(\mathbb R) \Rightarrow \hat f \in L^2(\mathbb R)$

{$\hat f(\mathbb R)$ se ha acotado el apoyo y la $\hat f \in L^2(\mathbb R)$} $\Rightarrow \hat f \in L^1(\mathbb R)$

Para $ f\in BL^2$, tomando la inversa de la transformada de Fourier $\mathcal F^{-1}:L^2(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R)$ $\hat f$ a continuación se da una función continua, por lo tanto $f$ tiene un único continuo de la versión, que aún podemos denotar por $f$.

(De hecho, esta versión es aún un holomorphic función.)

Así, tiene sentido considerar la $f(n)$. (Esto no fue evidente como $f$ era a priori sólo se considera un elemento de $L^2(\mathbb R)$.)

Ahora podemos escribir la $\hat f |_{[-\pi,\pi]}\in L^2([-\pi,\pi])$ como una serie de Fourier:

$$\hat f (\xi)=\sum_{n\in\mathbb Z} c_n(\hat f) e^{in\xi}$$ con $$c_n(\hat f) = \frac{1}{2\pi}\int_{[-\pi,\pi]}\hat f (\xi) e^{-in\xi}d\xi= \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\hat f (\xi) e^{-in\xi}d\xi=\mathcal F^{-1} \hat f (n) = f(n)$$ con $(c_n(\hat f))_{n\in \mathbb Z}=(f(n))_{n\in \mathbb Z} \in \ell^2(\mathbb Z)$.

Por lo tanto, obtener la fórmula $$\hat f (\xi)=\sum_{n\in\mathbb Z} f(n) e^{in\xi}$$ como una igualdad en $L^2([-\pi,\pi])$, pero luego $$\hat f (\xi)=\sum_{n\in\mathbb Z} f(n) e^{in\xi}1_{[-\pi,\pi]}(\xi)$$ en los que la serie converge en $L^2(\mathbb R)$. Así, podemos tomar la inversa de la transformada de Fourier de ambos lados y obtener la igualdad $$f (x)=\sum_{n\in\mathbb Z} f(n) \mathcal F^{-1}\big(e^{in\xi}\big|_{[-\pi,\pi]}\big)(x)=\sum_{n\in\mathbb Z} f(n) K(x-n)\qquad (*)$$ en $L^2(\mathbb R)$.

Ahora, como última observación se observa que para $u\in BL^2$, $\|u\|_\infty\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\|u\|_2$ como \begin{align} |u(x)|&=|\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\hat u (\xi)e^{-i\pi x\xi}d\xi|\\ & = |\frac{1}{2\pi}\int_{[-\pi,\pi]}\hat u (\xi)e^{-i\pi x\xi}d\xi|\\ (Cauchy-Schwarz)\qquad & \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\int_{[-\pi,\pi]} |\hat u (\xi)|^2d\xi)^{1/2}\\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\int_{\mathbb R} |\hat u (\xi)|^2d\xi)^{1/2}\\ (Plancherel)\qquad& = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\|u\|_2 \,. \end{align}

Así, en $BL^2$ la convergencia en $L^2$ implica la convergencia en $\|\|_\infty$ y la fórmula $(*)$ es válida no sólo en casi todas partes, pero para todos los $x$$\mathbb R$.

Para más detalles, ver Willem, Analizar harmonique réelle, 1995. La sección 6.3.

Answer 2

Theoram 2.6 en http://math.uchicago.edu/~mayo/REU2012/REUPapers/Cuddy.pdf da prueba de ello. el índice va de −∞ a +∞ es equalent a convolución