Absolutamente, el infinito tiene innumerables (:P) aplicaciones prácticas.
Esta es una forma de pensarlo: ¿tienen los números negativos alguna aplicación práctica?
Quiero decir que no se puede tener una cantidad negativa de nada, ¿verdad? No puedes tener cinco manzanas en negativo.
Si tu saldo bancario es negativo, es otra forma de decir que le debes al banco una cantidad (positiva) de dinero, y no al revés. Cuando decimos que la carga de una partícula es negativa, sólo queremos decir que tiene más carga de los electrones que de los protones. Y así sucesivamente.
No obstante, la abstracción de los números negativos -es decir, de los enteros, de los inversos aditivos y de los anillos numéricos, etc., en general- es enormemente útil. Está presente en nuestra comprensión de los números, tanto en su aplicación al mundo real como en muchas de las ramas más teóricas de las matemáticas puras.
Lo mismo ocurre con otras abstracciones matemáticas cuya ontología, y por tanto utilidad, podría cuestionarse de forma similar, desde los números complejos hasta (las muy diversas formas de) el infinito. Por ejemplo, los infinitos son la base de todos los análisis real La base del cálculo moderno y de los campos relacionados. Independientemente de que los números reales sean o no reales, en el sentido de que existan de algún modo en el universo, han demostrado ser, al menos, una aproximación increíblemente útil para modelizar todo tipo de cosas que "bien" pueden variar de forma continua en las escalas en que las medimos. Hay esfuerzos en curso para replicar los resultados del campo utilizando postulados más débiles sobre los infinitos, en el constructivismo e incluso en el finitismo, pero están lejos de ser "completos", y probablemente nunca lo serán.
Asimismo, el infinito está en el centro de la teoría de la medida, en la que se basa nuestra construcción actual de la probabilidad. Los espacios de Hilbert, utilizados en la formulación de la mecánica cuántica, son infinitos no sólo en tamaño, sino en dimensión. Y existen profundos vínculos entre incluso los exóticos cardinales transfinitos de Cantor, y las áreas de la lógica que tratan los temas más fundacionales de las matemáticas (y de hecho, con esas funciones finitas pero de crecimiento extremadamente rápido que otros han mencionado en el contexto de los números que son "infinitos para cualquier propósito práctico").
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Podemos lidiar mucho mejor con $\sum_{n=0}^\infty\frac1{n^2}$ que con $\sum_{n=0}^{10^{80}}\frac1{n^2}$ .
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Añadiendo a Hagen Von Eitzen, las series de Taylor son series infinitas que no pueden aproximarse perfectamente cuando son finitas. Si se hacen finitas, con la acumulación de errores de una aproximación a otra, puede haber efectos devastadores.
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"Tan pronto como empieces a comprender la inmensidad de Super K, te darás cuenta de que el mero hecho de ser finito no es una gran limitación, y verás lo inútil que es la discusión de los filósofos sobre lo finito frente a lo infinito. El infinito es una pista falsa. Yo estaría perfectamente feliz de renunciar a la inmortalidad si sólo pudiera vivir Super K años antes de morir. De hecho, nanosegundos Super K serían suficientes". Super K es $10 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$ D.E. Knuth, páginas 171-172 de su "Things a computer scientist rarely talks about"; Stanford Calif.: Center for Study of Language and Inform., 2001.
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Hagen von Eitzen, ¿qué pasaría si se representara en su lugar "un número muy, muy grande"? ¿No serían los cálculos los mismos y la capacidad de tratarlos igual?
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Si te gusta la física, investiga sobre los agujeros negros; cuando la densidad llega al infinito, ¡acabas teniendo agujeros negros!
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Un uso es que el infinito es una buena aproximación a lo muy grande, y lo infinitesimal es una aproximación a lo muy pequeño. Por ejemplo, utilizamos modelos continuos para aproximar los discretos para números muy grandes (materia continua para aproximar los átomos, ley gaussiana para aproximar las leyes binomiales...)
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Posiblemente relevante para la pregunta, un artículo sobre el infinito en las matemáticas: quantamagazine.org/