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¿Tiene el concepto de infinito alguna aplicación práctica?

Sé lo que estás pensando: "claro que sí, por ejemplo, sirve para saber cuántas veces se puede dar una vuelta a un círculo". Pero eso no es realmente cierto, ¿verdad? Estarías muerto o el mundo se hundiría mucho antes de que se alcanzara una cantidad infinita de vueltas.

¿Hay alguna aplicación práctica del concepto de infinito? ¿Es un concepto útil en matemáticas?

Sé que Donald E. Knuth ha argumentado que, a todos los efectos prácticos, un número muy, muy grande tiene el mismo efecto que el infinito, en su libro "Things a Computer Scientist Rarely Talks About" (no puedo recordar la cita exacta, ni encontrarla en Internet, por desgracia).

Se agradecen los ejemplos.

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Podemos lidiar mucho mejor con $\sum_{n=0}^\infty\frac1{n^2}$ que con $\sum_{n=0}^{10^{80}}\frac1{n^2}$ .

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Añadiendo a Hagen Von Eitzen, las series de Taylor son series infinitas que no pueden aproximarse perfectamente cuando son finitas. Si se hacen finitas, con la acumulación de errores de una aproximación a otra, puede haber efectos devastadores.

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"Tan pronto como empieces a comprender la inmensidad de Super K, te darás cuenta de que el mero hecho de ser finito no es una gran limitación, y verás lo inútil que es la discusión de los filósofos sobre lo finito frente a lo infinito. El infinito es una pista falsa. Yo estaría perfectamente feliz de renunciar a la inmortalidad si sólo pudiera vivir Super K años antes de morir. De hecho, nanosegundos Super K serían suficientes". Super K es $10 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$ D.E. Knuth, páginas 171-172 de su "Things a computer scientist rarely talks about"; Stanford Calif.: Center for Study of Language and Inform., 2001.

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Jordan Rastrick Puntos 21

Absolutamente, el infinito tiene innumerables (:P) aplicaciones prácticas.

Esta es una forma de pensarlo: ¿tienen los números negativos alguna aplicación práctica?

Quiero decir que no se puede tener una cantidad negativa de nada, ¿verdad? No puedes tener cinco manzanas en negativo.

Si tu saldo bancario es negativo, es otra forma de decir que le debes al banco una cantidad (positiva) de dinero, y no al revés. Cuando decimos que la carga de una partícula es negativa, sólo queremos decir que tiene más carga de los electrones que de los protones. Y así sucesivamente.

No obstante, la abstracción de los números negativos -es decir, de los enteros, de los inversos aditivos y de los anillos numéricos, etc., en general- es enormemente útil. Está presente en nuestra comprensión de los números, tanto en su aplicación al mundo real como en muchas de las ramas más teóricas de las matemáticas puras.

Lo mismo ocurre con otras abstracciones matemáticas cuya ontología, y por tanto utilidad, podría cuestionarse de forma similar, desde los números complejos hasta (las muy diversas formas de) el infinito. Por ejemplo, los infinitos son la base de todos los análisis real La base del cálculo moderno y de los campos relacionados. Independientemente de que los números reales sean o no reales, en el sentido de que existan de algún modo en el universo, han demostrado ser, al menos, una aproximación increíblemente útil para modelizar todo tipo de cosas que "bien" pueden variar de forma continua en las escalas en que las medimos. Hay esfuerzos en curso para replicar los resultados del campo utilizando postulados más débiles sobre los infinitos, en el constructivismo e incluso en el finitismo, pero están lejos de ser "completos", y probablemente nunca lo serán.

Asimismo, el infinito está en el centro de la teoría de la medida, en la que se basa nuestra construcción actual de la probabilidad. Los espacios de Hilbert, utilizados en la formulación de la mecánica cuántica, son infinitos no sólo en tamaño, sino en dimensión. Y existen profundos vínculos entre incluso los exóticos cardinales transfinitos de Cantor, y las áreas de la lógica que tratan los temas más fundacionales de las matemáticas (y de hecho, con esas funciones finitas pero de crecimiento extremadamente rápido que otros han mencionado en el contexto de los números que son "infinitos para cualquier propósito práctico").

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¿Los cardenales son exóticos? Genial. Seguro que el Papa estará encantado de oírlo.

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@Jordan Rastrick Podrías explicar un poco la relación entre ciertos cardinales infinitos y ciertas áreas de la lógica. Gracias.

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DanV Puntos 281

En el documental de la BBC sobre el infinito entrevistaron a Doron Zeilberger, que es probablemente el chico del cartel de "el infinito no tiene sentido" en el mundo de las matemáticas.

Le muestran el trabajo con $\infty$ símbolos cuando se habla de series y funciones. La razón por la que esto es una buena idea es sencilla.

Para decir que algo es infinito basta con decir que tiene más elementos que cualquier número finito. Pero para decir que algo es finito necesitamos acotarlo de alguna manera, lo que no podemos decir de forma simple (y forma simple significa que para el infinito tenemos un esquema simple que dice "más que $n$ objetos distintos", mientras que no existe un esquema particular que capte todas las formas de finitud).

En particular esto es útil cuando se habla de cosas muy pequeñas o muy grandes, nos permite calcular los límites (que es un proceso esencialmente infinito) pero descartar la mayor parte del cálculo como un resto que no afecta al resultado, que seguirá tomando algún margen de error.

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"nos permite calcular los límites (que es un proceso esencialmente infinito)" - ¿puede explicar la afirmación entre paréntesis y lo que quiere decir con "infinito" frente a "finito"? He preguntado a media docena de matemáticos y nadie ha dado una respuesta concreta.

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Al llegar a calcular $2+3+5+7$ simplemente se suman estos números y se obtiene el resultado. Este es un proceso de cálculo finito. Un proceso infinito es aquel en el que se puede probar cuál va a ser el resultado, pero no se puede calcular cada paso en el camino. Por ejemplo, no se escribe realmente todo el número producido por el argumento diagonal de Cantor. Los límites son esencialmente infinitos porque no calculas el resultado a mano, cada paso del camino, haces un argumento general que te permite demostrar algo sobre el resultado.

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Pero la derivada de $x^2$ también es un límite, pero puede calcularse como $2x$ en un número finito de pasos, por ejemplo, mediante software simbólico como Mathematica, programado con reglas para manipular dichas expresiones. Las expresiones en sí son finitas y las reglas también. Pero veo que has modificado infinito por "esencialmente" así que tienes que explicarlo ahora.

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Alan Storm Puntos 506

Se pueden tomar los límites de las funciones a medida que la variable llega al infinito. De esta manera puedes calcular cosas como la velocidad terminal y la velocidad de escape.

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Yves Daoust Puntos 30126

P: ¿Cuál es el mayor número primo?

R: No hay ninguno, porque el conjunto de los primos es infinito.

Probar una infinito número de primos no es tan difícil, se demuestra por contradicción, es decir, demostrando que no puede haber un "último primo", la secuencia es no es finito (el truco consiste en demostrar que a partir de un primo dado considerado el mayor, se puede construir otro que sea... mayor). Así que, aunque no se pueda contar hasta el infinito, se puede razonar muy bien sobre el infinito.

Además de aparecer de forma ubicua en prácticamente todas las áreas de las matemáticas, no se puede prescindir del infinito cuando se trata de fenómenos continuos. Por ejemplo, no se puede contar el tiempo, hay demasiados "instantes", y entre dos instantes cualesquiera hay otros. Por naturaleza, el tiempo -y el espacio- no pueden describirse con medios finitos (al menos tal y como los entiende la física actualmente).

Una utilidad más abstracta es que trabajar con el infinito obliga a encontrar regularidades entre los objetos estudiados. Trabajar con conjuntos finitos de forma no estructurada/exhaustiva suele ser posible (por ejemplo, mediante ordenadores); pero las colecciones infinitas deben resumirse de algún modo (expresarse en forma de comprensión) para que sean abordables.

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Si se rechaza el concepto de infinito, no se puede tomar una gran colección de primos (Super K largo) y encontrar otro. No habría más primos que un número Super K de primos. Cualquier primo más grande sería inválido, al igual que el resultado de dividir por cero.

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@Alexander Ok, si no hay inifinidad, entonces no hay infinito, QED.

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