Acerca de la mensurabilidad de los operadores

Question

Estoy triyng sin éxito, para encontrar algunos ejemplos de funciones que:

$\bullet$Son WOT medible, pero no SOT-medible.

$\bullet$Son SOT-medible, pero no $||\cdot||$-medible.

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Doy las definiciones que estoy tratando. Tenemos:

$X=\cal{L}$($E_1$,$E_2$)

$f:\Omega\to X$$\;,\;\;$$(X,\Sigma,\mu)$ medir el espacio.

$\bullet\; ||\cdot||_{X}$-medible: $\exists s_n:\Omega\to X$, sencillos, y $\exists A\in\Sigma,\;\mu(A)=0$, $||s_n(w)-f(w)||_{X}\xrightarrow[n\to\infty]{}0\;\;\forall w\notin A.$

$\bullet\;$ SOT-medible: $\forall e_1\in E_1$, la función $w\to f(w)(e_1)\;\;$ ($\Omega\to E_2$) es $||\cdot||_{E_2}$-medible.

$\bullet\;$ WOT-medible: $\forall e_1\in E_1$, e $\forall e_2^{}*\in E_2^{*}$, la función $w\to <f(w)(e_1),e_2^{*}>\;\;$ ($\Omega\to \mathbb{K}$) es medible (en el sentido usual de la palabra).

Muchas gracias por cualquier ayuda para encontrar esos ejemplos.

Answer 1

Si $E_2$ es separable, entonces WOT-medible es el mismo que SOT-medible. De hecho, si $f:\Omega\to \mathcal L(E_1,E_2)$ es WOT-medible, entonces, para cada a $e_1\in E_1$, el mapa de $f_{e_1}:\omega\mapsto f(\omega)e_1$ es débilmente medibles de $\Omega$ a $E_2$. Desde $E_2$ es separable, esto implica que $f_{e_1}$ es fuertemente medible para cada $e_1\in E_1$ (esto es `Pettis' mensurabilidad teorema"). En otras palabras, $f$ es SOT-medible.

Para mostrar que SOT-medible no implica $\Vert\,\cdot\,\Vert$-medible, tenga en cuenta primero que si $f$ $\Vert\,\cdot\,\Vert$- medible, entonces su rango es `esencialmente "separables", es decir, existe un conjunto $B$ $\mu(\Omega\setminus B)=0$ tal que $f(B)$ es separable. Por lo que es suficiente para producir un SOT-medible mapa de $f$ cuyo rango no es esencialmente divisible.

Aquí es un ejemplo. Tome $E_1=\mathcal C([0,1])$, el espacio de todas las funciones continuas en $[0,1]$$E_2=\mathbb R$. Por lo $\mathcal L(E_1,E_2)=M([0,1])$, el espacio de todas las medidas de Borel en $[0,1]$. Definir $f:[0,1]\to M([0,1])$$f(\omega)=\delta_\omega$, el punto de Dirac masa en $\omega$. (La medida de $\mu$ $[0,1]$ es la medida de Lebesgue). Tenga en cuenta que si $\Vert f(\omega)-f(\omega')\Vert=2$ siempre $\omega\neq \omega'$. De ello se deduce que para cualquier multitud innumerable $B\subset [0,1]$, la $f(B)$ no puede ser separable; por lo tanto el rango de $f$ no es esencialmente divisible. Por otro lado, $f$ es SOT-medible porque para cualquier $e_1\in E_1=\mathcal C([0,1])$, $f(\omega)e_1=e_1(\omega)$ y, por tanto, el mapa de $\omega\mapsto f(\omega)e_1$ es aún continua.

Aquí hay otro ejemplo. Tome $E_1=E_2=L^2([0,1]):=H$ y definen $f:[0,1]\to \mathcal L(H)$ como sigue: para cualquier $\omega\in [0,1]$, el operador $f(\omega)$ es el operador de multiplicación por la función $\mathbf 1_{[0,\omega]}$. A continuación, $f$ es SOT-medible, sino $\Vert f(\omega)-f(\omega')\Vert=1$ siempre $\omega\neq\omega'$, por lo que el intervalo de $f$ no es esencialmente divisible.

Finalmente, aquí está un ejemplo de un WOT-medible, pero no SOT-medible. Tome $E_1=\mathbb R$$E_2=\ell^2([0,1])$, es decir, un nonseparable espacio de Hilbert tener una base ortonormales $(e_\omega)_{\omega\in [0,1]}$ de cardinalidad $\mathfrak c$. A continuación,$\mathcal L(E_1,E_2)=E_2=\ell^2([0,1])$. Considerar el mapa de $f:[0,1]\to \ell^2([0,1])$ definido por $f(\omega)=e_\omega$. Este mapa no es SOT-medible debido a que su rango no es esencialmente divisible (y SOT-medible sólo significa fuertemente medible en el presente caso). Por otro lado, $f$ es WOT-medible porque para cualquier $u\in \ell^2([0,1])$,$\langle u,f(\omega)\rangle=0$, excepto para una contables conjunto de $\omega$'s.