Un engañando a la serie de Taylor

Question

Cuando tratamos de ampliar $$ \begin{align} f:&\mathbb R \to \mathbb R\\ &x \mapsto \begin{cases} \mathrm e^{-\large\frac 1{x^2}} &\Leftarrow x\neq 0\\ 0 &\Leftarrow x=0 \end{casos} \end{align}$$ en la serie de Taylor alrededor de $x = 0$, podemos llegar a la conclusión equivocada de que $f(x) \equiv 0$, debido a que la derivada de $f(x)$ de cualquier orden en este punto es $0$. Por lo tanto, $f(x)$ no está de buen comportamiento para este procedimiento.

¿Qué condiciones determinan el buen comportamiento de una función para la expansión en series de Taylor?

Answer 1

La clase de $ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ funciones que usted está buscando son aquellos que no sólo tienen derivadas de todos los órdenes en un punto, por lo que podemos asociar con un desarrollo en serie de Taylor, pero para los que el valor de la serie de Taylor en realidad coincide con los valores de la función es un barrio de la expansión de punto. El nombre dado a estas funciones son Reales funciones analíticas.

La condición para comprobar si una función es real analítica es investigar el resto término en su polinomio de Taylor de expansión. Si el resto término se a$0$, entonces la función es real analítica. En el ejemplo que dan de arriba, todos los polinomios de Taylor de la función son las $0$ función, mientras que el "resto" es la función completa. No se puede ser mucho más específica que la que esta desde la naturaleza exacta de el resto depende de manera crucial de la función que está siendo investigado, por lo que debe comprobar manualmente para cada función.

Una condición suficiente, como Matt y Sivaram han mencionado, es el de comprobar que la función de continuación para el plano complejo es complejo-diferenciable en algunos vecindarios alrededor del punto de interés, ya que holomoprhicity implica complejo de analiticidad.

Answer 2

Se le da un $C^\infty$ función de $f$ definida en una vecindad $U$ $0\in{\mathbb R}$ y están pidiendo un criterio que garantice $$f(x)\ =\ \sum_{k=0}^\infty {f^{(k)}(0)\over k!}\ x^k\qquad(|x|<a)\qquad(*)$$ para algunos $a>0$. Ahora bien, tal criterio debe trabajar con los datos, es decir, la función de $f:\ U\to{\mathbb R}$, y nada más. Aquí es un criterio: Si hay un $a>0$ e una $n_0$ tal que $$\bigl|f^{(n)}(t)\bigr|\ \leq\ n!\qquad\bigl(|t|\leq a, \ n>n_0\bigr)$$ a continuación, $(*)$ mantiene. Utilizando este criterio, usted puede, por ejemplo, demostrar que $$\log(1+t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\ {t^k\over k}\qquad\bigl(|t|<{1\over2}\bigr)$$ sin referirse a los análisis complejo.

Para la prueba de uno debe tener en cuenta que una forma de Taylor teorema dice que $$f(x)\ =\ j_0^n(x)+R_n(x)\qquad(|x|<a)\ ,$$ donde $j_0^n$ indica el $n$th el polinomio de Taylor de $f$$0$, y el resto $R_n(x)$ puede ser escrita en la forma $$R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi)\over (n+1)!}\ x^{n+1}$$ para algunos desconocido $\xi$$0$$x$. El uso de los supuestos sobre los $f$ a continuación, es fácil mostrar que $\lim_{n\to\infty} R_n(x)=0$ todos los $|x|<a$.

Answer 3

Para agregar a las otras respuestas, en muchos casos, uno de los usos de algunos simples suficiente (pero no necesaria) condición para la analiticidad: por ejemplo, la función primaria (polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales,logaritmos) es analítica en cualquier subconjunto abierto de su dominio; lo mismo para las composiciones, sumas, productos, recíprocos (a excepción de los puntos donde la función original es cero... lo que deja su ejemplo), etc.