La norma de $(Af)(x)=\int_0^x f(t)\,dt$

Question

Para $f \in L^1[0,1]$ deje $A:L^1[0,1] \rightarrow L^1[0,1]$ ser dada por $$(Af)(x)=\int_0^x f(t)\,dt, \quad0\le x \le 1.$$ Mostrar que $A$ es un operador lineal continuo y calcular su norma.

Me mostró la continuidad, de forma equivalente, acotamiento de esta manera: $$\|Af\|=\left\|\int_0^xf(t)\,dt\right\|=\int_0^1\left| \int_0^xf(t) \, dt \right| \,dx \le\int_0^1\int_0^x|f(t)| \, dt \, dx \le\int_0^1\|f\| \, dx=\|f\|$$ por lo tanto el operador está vinculada con una constante de $C=1$ e lo $\|A\|\le1$.

Sin embargo, yo estoy luchando con la que muestra que, efectivamente,$\|A\|=1$. Yo estaba aconseja el uso de $$f_n = n 1_{[0,{1 \over n}]}$$ , pero tengo dos preguntas. En primer lugar, ¿cómo puedo llegar a tal función y que tengo que usar?

Answer 1

Está claro que $(\forall n\in\mathbb{N}):\|f_n\|=1$. Por otro lado, si $n\in\mathbb N$ y $x\in[0,1]$, $$(Af_n)(x)=\int_0^xf_n(t)\,dt=\left\{\begin{array}{l}nx&\text{ if }x\leqslant\frac1n\\1&\text{ otherwise.}\end{array}\right.$$ Therefore, $\|Af_n\|=1-\frac n2$. So, you have a sequence of elements of your space with norm $1$ such that the norms of their images tendo to $1$. So, $\|Un\|\geqslant1$. Since you already know that $\|\|\leqslant1$, $\|\|=1$.