Encontrar la intersección de los conjuntos de $A$ $B$ donde $$A = \{ [n\sqrt{2}]\mid n \in \mathbb{N}^* \}$$ $$B = \{ [n(2+\sqrt{2})]\mid n \in \mathbb{N}^* \}.$$
([$x$] es la parte entera de a $x$)
El uso de la computadora, encontramos elementos comunes.
¿Alguien tiene una idea para resolver?
Estos son conocidos como Beatty secuencias y que ha sido muy estudiado a fondo (se puede encontrar uno de sus dos secuencias en http://oeis.org/A001951 ). La propiedad más interesante (y más relevante aquí) es que si $r$ $s$ son números irracionales con $r,s \gt 1$$\frac1r+\frac1s=1$, entonces las secuencias de $R=\left\{\lfloor (nr)\rfloor\right\}$ $S=\left\{\lfloor (ns)\rfloor\right\}$ son complementarias: $R\cap S=\emptyset$$R\cup S=\mathbb{N}$.
Supongamos que existe $m,n\in\mathbb{N^*}$ tal que $[n\sqrt{2}]=[(2+\sqrt{2})m]=t\in\mathbb{N^*}.$ A continuación, $t<n\sqrt{2}<n+1,\quad t<(2+\sqrt{2})m<t+1\implies \dfrac{t}{\sqrt{2}}<n<\dfrac{t+1}{\sqrt{2}},\quad \dfrac{t}{2+\sqrt{2}}<m<\dfrac{t+1}{2+\sqrt{2}}\stackrel{(+)}{\implies} t<n+m<t+1,\;\text{false}\implies A\cap B=\emptyset.$
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