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¿Cómo resolver este difícil problema de suma?

$$\sum _{ x=1 }^{ \infty }{ \frac { 3{ x }^{ 2 }+12x+16 }{ { \left( x\left( x+1 \right) \left( x+2 \right) \left( x+3 \right) \left( x+4 \right) \right) }^{ 3 } } } =\frac { 1 }{ 4{ (a!) }^{ b } } $$

$$Compute\quad b-a\quad if\quad b\quad and\quad a\quad are\quad positive\quad integers\quad .\quad$$

Le pregunté a mi profesor que me ayude en la solución de esta suma . Pero, por desgracia , él me dijo que ya no. es muy difícil la pregunta, Así que , espero que usted me puede ayudar en la solución de este problema .

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Yves Daoust Puntos 30126

La respuesta es $\color{green}{-1}$.

De hecho, la suma converge muy rápidamente (los términos son $\Theta(x^{-13})$) y los inversos de las sumas parciales son

$$55741.9354839\\ 55312.3888560\\ 55297.2897327\\ 55296.1612133\\ 55296.0276428\\ 55296.0059708\\ 55296.0015387\\ 55296.0004559\\ 55296.0001513\\ 55296.0000551\\ \cdots$$

Obviamente, esto tiende a $4\cdot4!^3$.

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