Valor de una función exponencial

Question

¿Cuál es el valor de la función exponencial $y=e^{x^{x}-1}$$x=0$? Yo graficar la función en desmo y el valor en$x=0$$1$. Sin embargo, no sé cómo mostrar este analíticamente.

Answer 1

Si intenta evaluar en $x=0$, usted puede terminar encima de conseguir $$e^{0^0-1}$$ Cuyo valor no es inmediatamente evidente. Sin embargo, por convención, $0^0$ es igual a $1$. Esto es debido a que $$\lim_{x\to 0} x^x=1$$ Y si usted observa el siguiente gráfico de $y=x^x$, usted puede ver que esto es así:

El valor que desea saber no es, estrictamente hablando, existe, pero si se utiliza el límite de dejar a $0^0=1$, entonces el valor de es $$e^{0^0-1}$$ $$e^{1-1}$$ $$e^{0}$$ $$1$$ Y, entonces, el límite de la función en ese punto es igual a $1$.

Answer 2

Esta función no está definida en $0$, pero se puede calcular el límite de $\lim_{x\to0}e^{x^x-1}=e^{\lim_{x\to0}x^x-1}$. Sucede que $$\lim_{x\to0}x^x=\lim_{x\to0}e^{x\log x}=e^{\lim_{x\to0}x\log x}$$ and that $$\lim_{x\to0}x\log x=\lim_{x\to0}\frac{\log x}{\frac1x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=-\lim_{x\to0}x=0.$$ So, $\lim_{x\to0}x^x=e^0=1$ and therefore $\lim_{x\to0}e^{x^x-1}=e^0=1$.

Answer 3

A veces expresamos $0^0 = 1$, luego tenemos a $e^{0^0-1}=e^{1-1}=e^0=1$. Sin embargo, normalmente de $x^x$ no está definido en $x=0$. Así que nos tomamos el límite, $\lim_{x\to 0} (e^{x^x-1})$. Sustituto $x \mapsto x^x$ (ver más abajo),

$$\lim_{x\to 1} (e^{x-1}) = e^0 = 1$$

Aquí os muestro que $x^x \to 1$ $x \to 0$

$$\begin{align} y &= \lim_{x \to 0} x^x \\ \ln y &= \lim_{x \to 0} x\ln x \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\ln x}{\frac 1 x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{ \frac 1 x}{\frac{-1}{x^2}} \\ \ln y & = \lim_{x \to 0} (-x) = 0 \\ y &= 1 \end{align}$$

Answer 4

Sabemos que $\displaystyle e^{x}$ es diferenciable y función continua.

Por lo que el límite es realmente depende de la $x^{x}$ valor a medida que se aproxima $0$.

Podemos reescribir $x^{x}$$e^{x\ln x}$. Tenemos que calcular el $\displaystyle \lim_{x \to 0}e^{x \ln x}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}x \ln x}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac1x}}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} -x}=e^0=1$.

Por lo tanto, sabemos que $x^{x}-1$ enfoques $0$.

Y por lo tanto $e^{x^x-1}$ enfoques $1$.