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Valor de una función exponencial

¿Cuál es el valor de la función exponencial y=exx1x=0? Yo graficar la función en desmo y el valor enx=01. Sin embargo, no sé cómo mostrar este analíticamente.

14voto

Franklin P. Dyer Puntos 174

Si intenta evaluar en x=0, usted puede terminar encima de conseguir e001 Cuyo valor no es inmediatamente evidente. Sin embargo, por convención, 00 es igual a 1. Esto es debido a que lim Y si usted observa el siguiente gráfico de y=x^x, usted puede ver que esto es así:

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El valor que desea saber no es, estrictamente hablando, existe, pero si se utiliza el límite de dejar a 0^0=1, entonces el valor de es e^{0^0-1} e^{1-1} e^{0} 1 Y, entonces, el límite de la función en ese punto es igual a 1.

5voto

dmay Puntos 415

Esta función no está definida en 0, pero se puede calcular el límite de \lim_{x\to0}e^{x^x-1}=e^{\lim_{x\to0}x^x-1}. Sucede que\lim_{x\to0}x^x=\lim_{x\to0}e^{x\log x}=e^{\lim_{x\to0}x\log x}and that\lim_{x\to0}x\log x=\lim_{x\to0}\frac{\log x}{\frac1x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=-\lim_{x\to0}x=0.So, \lim_{x\to0}x^x=e^0=1 and therefore \lim_{x\to0}e^{x^x-1}=e^0=1.

4voto

Dando18 Puntos 204

A veces expresamos 0^0 = 1, luego tenemos a e^{0^0-1}=e^{1-1}=e^0=1. Sin embargo, normalmente de x^x no está definido en x=0. Así que nos tomamos el límite, \lim_{x\to 0} (e^{x^x-1}) . Sustituto x \mapsto x^x (ver más abajo),

\lim_{x\to 1} (e^{x-1}) = e^0 = 1

Aquí os muestro que x^x \to 1 x \to 0

\begin{align} y &= \lim_{x \to 0} x^x \\ \ln y &= \lim_{x \to 0} x\ln x \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\ln x}{\frac 1 x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{ \frac 1 x}{\frac{-1}{x^2}} \\ \ln y & = \lim_{x \to 0} (-x) = 0 \\ y &= 1 \end{align}

4voto

Saketh Malyala Puntos 118

Sabemos que \displaystyle e^{x} es diferenciable y función continua.

Por lo que el límite es realmente depende de la x^{x} valor a medida que se aproxima 0.

Podemos reescribir x^{x}e^{x\ln x}. Tenemos que calcular el \displaystyle \lim_{x \to 0}e^{x \ln x}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}x \ln x}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac1x}}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\displaystyle \lim_{x \to 0} -x}=e^0=1.

Por lo tanto, sabemos que x^{x}-1 enfoques 0.

Y por lo tanto e^{x^x-1} enfoques 1.

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