Que $\gamma$ reposar el real 9 raíz de 5 y que $L = {\bf Q}(\gamma)$. Supongamos que ${\bf Q} \subsetneq K \subsetneq L$. Entonces $[L : K] = [K : {\bf Q}] = 3$.
¿Por qué debe $K = {\bf Q}(\gamma^3)$?
El polinomio mínimo de $\gamma$ $K$ tiene grado 3, y es un divisor de $x^9 - 5$ $K[x]$.
Esto es suficiente para mostrar que cualquier $ K $ contendría $ \gamma^3 $. Para probar esto, tenga en cuenta que los conjugados de la $ \gamma $$ \mathbf Q $, y así a lo largo del $ K $ son todos de la forma $ \zeta^k \gamma $ $ \zeta $ una primitiva novena de la raíz de la unidad. El campo de norma $ N_{L/K} $, a continuación, envía a $ \gamma $ $ \zeta^k \gamma^3 $para un cierto valor de $ k $ ($ \gamma $ tiene tres distintas $ K $-conjugados, y la norma es el producto de los conjugados). Desde $ K $ es un auténtico campo, este valor de $ k $ sólo puede ser un múltiplo de $ 9 $; ya que todos los otros poderes de la $ \zeta $ tienen distinto de cero imaginaria. Por lo tanto, $ N_{L/K}(\gamma) = \gamma^3 $, y dado que la norma mapa es un mapa de $ L \to K $, se deduce que el $ \gamma^3 \in K $.
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