Confundido por el teorema de Bolzano Weierstrass

Question

Me encontré con la de Bolzano-Weierstrass Teorema (cada delimitada secuencia tiene una convergencia larga), fue declarado en algún lugar sin la prueba. Tan curioso como soy, me parecía una prueba en la Internet.

Las pruebas a las que me encontrado constan de 2 Lemas: (1) Cada secuencia tiene una monótona larga, y (2) Cada delimitada monótona secuencia converge.

Creo entender (1): una secuencia tiene un finita o infinita cantidad de picos (todos los valores después de un pico es menor que el del pico). Si hay una cantidad infinita de picos, a continuación, los picos de forma de un monótono disminución de la secuencia. Si sólo hay una cantidad finita de picos (así también 0 picos sería válido), entonces un valor de $n_1$ después de que el último pico es menor que el último pico (por definición-y en el caso de 0 picos, $n_1$ es el primer valor). Así que debe haber un $n_2$ a algún lugar después de $n_1$, que es mayor, de lo contrario $n_1$ sería un pico. Entonces debe haber un $n_3$ mayor que $n_2$, de lo contrario $n_2$ sería un pico. Repetir, y encontrar una monótona creciente de la secuencia.

Ahora acerca de (2). Asumir la secuencia de ($a_n$) es monótona creciente, para la disminución del caso es similar. Ya que la secuencia es acotado, existe por lo menos un límite superior, $l = \sup(a_n)$. Dicen que esta $l$ es el valor de la secuencia converge a, pero ¿por qué...?

Por ejemplo, si la secuencia se ve como una función exponencial, es monótona creciente. Acaban de cortar esta función en algún lugar, y es un delimitada monótona secuencia, ¿verdad? Así que, a continuación, la menor cota superior de a $l$, en este caso el valor máximo, debe ser el límite de la secuencia?

Desde la secuencia principal en el Bolzano-Weierstrass es acotado, se tiene una monótona larga de acuerdo a (1), y está delimitado así? Luego de esta larga converge.

Por último, he leído otra prueba donde el "Anidada Intervalo Teorema". Fue sobre dividir el intervalo hasta que hay un único punto (?), así que este punto sería el límite de la secuencia?

Por cierto, mi formación es en Ingeniería Mecánica, así que no tengo que utilizar para la lectura y la comprensión de las pruebas.

Answer 1

Parece que estás bastante en la parte superior de la primera lema que usted describe. Por favor aclarar si usted necesita cualquier ayuda con eso.

Para el segundo, creo que tu confusión es causada por usted malentendido "limitado", o al menos conseguir la equivocada imagen mental cuando lo vea. Una secuencia delimitada todavía contiene una infinidad de puntos-que es limitado significa que todos los puntos se encuentran dentro del mismo intervalo en la $y$-eje.

Un ejemplo es la secuencia de $a_n = \sin(n)$$0\le n\lt \infty$. Aquí $n$ puede ser tan grande como quieras, pero cada $a_n$ entre $-1$$1$, lo que hace que la secuencia delimitada.

Por lo tanto, Bolzano-Weierstrass dice que $(\sin(n))_n$ contiene convergente larga. No es fácil escribir de una forma explícita, aunque. (Ya que estamos matemáticos aquí, $\sin(n)$ trata $n$ como un ángulo en radianes, por lo que no hay ningún valor en la secuencia que se repite exactamente).

Answer 2

Si es el supremum de la secuencia $l$ $(a_n)$, por la definición del supremum tenemos los siguientes:

Para cada $\varepsilon >0$ allí es algunos $n$ tal que $a_n\geq l-\varepsilon$.

Pero como su secuencia es Monótonamente creciente, $a_m \geq l-\varepsilon$ cada $m\geq n$. Esto es exactamente lo que significa la secuencia $(a_n)$ a converger a $l$.