Holonomía y caracteres diferenciales

Question

Esta pregunta va a ser bastante vaga, pero estoy tratando de ver si hay conexiones obvias entre estos dos conceptos.

Así, la holonomía de un haz vectorial con grupo de Lie $G$ es $$h(A)=\mathcal{P}\exp\left(\int_\gamma A\right)$$ donde $\mathcal{P}$ es el símbolo de ordenación del camino y la integral sobre la conexión $A$ se toma sobre una curva $\gamma$ . Estos elementos forman el grupo de holonomía, que se relaciona con la curvatura de la conexión a través de Ambrose-Singer.

Un carácter diferencial es un elemento $$h\in Hom(C_{k-1}(M;\mathbb{Z}),U(1)),\quad h\circ \partial \in\Omega^k(M)$$ definido en una cadena $c\in C_{k}(M;\mathbb{Z})$ para ser $$h(\partial c)=\exp \left(\int_c \omega(h)\right)$$ donde $\omega(h)$ es un elemento de $\Omega^k(M)$ (Llamada la curvatura de $h$ ). Los caracteres diferenciales forman un grupo $\hat{H}^*(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ que están relacionados con los grupos de homología y son objetos clave en la teoría cuántica de campos topológicos.

Así que mi pregunta es esencialmente cómo se relacionan estas dos cosas entre sí. Por ejemplo, uno podría pensar que los caracteres diferenciales evaluados en puntos serían iguales a las holonomías de un $U(1)$ paquete. Así pues, ¿podemos pensar en los caracteres diferenciales como algo parecido a "holonomías de orden superior"? Al menos de $U(1)$ ¿paquetes?

¿Y si generalizamos en la otra dirección, cambiamos la imagen de los exponenciales para que sea un grupo de Lie general $G$ ? ¿Sería esto una generalización de las holonomías a un $k$ -¿esqueleto?

¿Alguien sabe si lo que propongo es natural, totalmente equivocado o muy complicado?

Answer 1

Un carácter diferencial de grado 1 con coeficientes en U(1) es precisamente (una clase de isomorfismo de) un haz principal de U(1) con conexión. (El grupo en su descripción debería ser R/Z=U(1), no Q/Z).

Con un poco más de esfuerzo se pueden recuperar las correspondientes categorías y no sólo las clases de isomorfismo.

Si se evalúa un carácter diferencial en un círculo C entonces se recupera la holonomía del correspondiente haz principal U(1) alrededor de C.

Del mismo modo, en grado n se recupera U(1)-bundle (n-1)-gerbes con conexión. Para un grupo de Lie abeliano A arbitrario se obtiene el haz de A (n-1)-gerbos con conexión.

Todo esto se puede encontrar en nLab, véase, por ejemplo, http://ncatlab.org/nlab/show/Cheeger-Simons+diferencial+carácter .

Para un grupo de Lie general no conmutativo G la construcción sólo puede funcionar en grado 1, y una vez que las definiciones se establecen correctamente (la holonomía alrededor de un círculo ya no tiene sentido como elemento de G) se obtienen paquetes principales de G con conexiones, véase, por ejemplo, el teorema 5.4 en http://arxiv.org/abs/0705.0452 .