¿Cuál es el significado geométrico de la constante $k$ en la ley de senos, $\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c}=k$ en geometría hiperbólica? Quisiera saber el significado de la constante sólo en euclidiana y la geometría esférica.
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Stephan Aßmus
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"k" es la "escala de distancia," que tradicionalmente han llevado a ser 1, por lo tanto en un espacio de curvatura $-1,$ a medida que la curvatura es $-1/k^2.$ En esta y otras maneras, $k$ aparece como una especie de imaginario radio. Nota la curvatura de la ordinaria de la esfera de radio $r$ $1/r^2.$
Oh, $k$ NO aparece en el lugar que te indican en la Ley de los Senos. Borrar!
Si desea permitir que otros $k,$ la Ley correcta es $$ \frac{\sin A}{\sinh(a/k)} = \frac{\sin B}{\sinh(b/k)} = \frac{\sin C}{\sinh(c/k)} $$
El significado real de $k$ es una relación entre las curvas de llamada horocycles. Pero, por algo más fácil, el área de un triángulo geodésico es su defecto angular multiplicado por $k^2.$
La más sencilla introducción conozco a estos asuntos es MY_ARTICLE
EDIT: evidentemente Apotema quería algunos otros geométrica el número de asociados con un triángulo que da el mismo número que el valor común en la Ley de los Senos. No puedo imaginar cualquier cosa comprensible que lo hace. Ver el artículo de Milnor en los primeros 150 años de la geometría hiperbólica: MILNOR. No es bonita expresión para el volumen de un tetraedro en $\mathbf H^3.$ tengo que pensar si me sé ni el volumen de una esfera geodésica en $\mathbf H^3.$ Tuvo que mirar hacia arriba, $$ V = 2 \, \pi \, ( \, \sinh r \; \cosh r \; \; - \; \; r ) = \pi \sinh(2r) - 2 \pi r, $$ and that the Taylor series of this around $r=0$ has first term $\frac{4}{3} \pi r^3,$ como se requiere en el pequeño.
Narasimham
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Como Se Jagy, k debe estar dentro del argumento: $$ \frac{\sin A}{\sinh(a/k)} = \frac{\sin B}{\sinh(b/k)} = \frac{\sin C}{\sinh(c/k)} $$
Esta es la Ley de la trigonometría Hiperbólica, donde k es el pseudoradius, constante de la curvatura de Gauss $K= -1/k^2$. Consulte también "Pan de la geometría", un conjunto de relaciones refleja desde el esférico para hyerbolic, caracterizado por (sin,cos) -> (sinh,cosh).. en Roberto Bonola el libro sobre Geometría No-euclidiana.
No hay nada de imaginario acerca de pseudoradius.Es tan real,palpable y sólido como el radio de la esfera en la trigonometría esférica, después de geometría hiperbólica ha sido tan firmemente establecida.
Deseo práctica de la utilización de $ K=-1$ se debe hacer de inmediato,siempre con $ K = -1/k^2 $ o $ K = -1/a^2 $lugar.
