Período de la oscilación a través de un agujero en la tierra

Question

Mención especial para el QI episodio que se inició a esto: De todos modos, el anfitrión señala que es un túnel que conecta un par de puntos sobre la superficie de la tierra puede ser pensado como la gravedad de tren - donde la fuerza de la gravedad a lo largo del túnel permite que un objeto caiga a través de ella y salir por el otro lado. Cualquier fuerza perpendicular al túnel (en caso de que el túnel no pase a través del centro de la tierra) es ignorado.

He trabajado y la ecuación es $a = -\frac{4}{3}\pi\rho G d$ donde $d$ es la distancia desde el centro del túnel y $\rho$ es la densidad de la tierra.

Claramente, es armónico simple y, por tanto, el periodo es constante y no tiene ninguna dependencia en la que los dos puntos se utilizan para hacer el túnel.

¿Alguien tiene una intuición de por qué esto debería ser así? Me imagino que algunos la ley de Gauss tipo de argumento debe trabajar aquí, pero yo no la veo.

EDIT: Más al punto, ¿por qué incluso cuando el túnel no pase por el centro, se obtiene el mismo período. ¿Hay alguna explicación más profunda de por qué esto debería ser así?

Answer 1

Suponiendo que la Tierra es una esfera uniforme de masa M y radio R. Ahora la construcción de un túnel que conecta dos puntos en su superficie. Supongamos que en algún instante en que la partícula está en la distancia radial r del centro de la tierra, O. Puesto que la partícula está restringido a moverse a lo largo del túnel, vamos a definir su posición como la distancia x a partir de C. por lo tanto, la ecuación de movimiento de la partícula es,

$$ma_{x}=F_{x}$$

La fuerza gravitacional sobre la masa m a una distancia r es,

$$F=\frac{GMmr}{R^3}$$ (hacia el S, el centro de la Tierra)

Por lo tanto,

$$F_{x}=-Fsin\theta$$ $$=\frac{-GMmr}{R^3}\frac{x}{r}$$ $$=\frac{-GMmx}{R^3}$$

Ya, $F_{x}\alpha-x$, el movimiento es armónico simple en la naturaleza. Además,

$$ma_{x}=\frac{GMmx}{R^3}$$ $$a_{x}=\frac{GMx}{R^3}$$ Por lo tanto el período de tiempo de oscilación es ,

$$T=2\pi\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a_{x}}}$$ $$T=2\pi\frac{\sqrt{R^{3}}}{\sqrt{GM}}$$ Por lo tanto tomar tiempo para una partícula que ir de un extremo a otro es,

$$t=\frac{T}{2}=\pi\frac{\sqrt{R^{3}}}{\sqrt{GM}}= 2530.496126seconds=42.17mins$$

Así que una partícula o una persona de masa m se túnel de 34 veces al día!

Sería interesante hacer lo mismo para la forma original de la Tierra y ver la desviación del tiempo de una partícula que pasa a través del túnel.

Answer 2

EDIT: Aquí es un intento de explicación intuitiva para el caso especial cuando el túnel que pasa por el centro de la tierra. Para el caso general, se refieren a las otras soluciones que se han proporcionado.
Creo que de la esfera sólida de la tierra se compone de muchas delgada concéntricos cáscaras huecas cada uno de la misma densidad,$\rho$. Ahora bien, si el tren está a una distancia d del centro de la tierra, la fuerza gravitacional ejercida por las conchas con radio mayor que d en el tren será de cero(El tren está en el interior de estas conchas). Sólo las conchas con radio menor que d va a ejercer una fuerza en el tren. La masa total de estos depósitos será proporcional a $d^3$ (como estas conchas forma de una esfera de radio d). El centro de esta esfera se encuentra a una distancia d de la estación de tren.
Ahora $\hspace{5cm}$ g $\propto M/d^2$
Y, como hemos visto, $\hspace{5cm}$ M $\propto d^3$
llegamos$\hspace{5cm}$ g = kd para algunas constantes de proporcionalidad.d.
Esto significa que la aceleración debida a la gravedad es proporcional a la distancia del tren desde el centro de la tierra y este es exactamente el tipo de aceleración que nos ponemos en el caso de un oscilador lineal.