Buscando la explicación de límite de Dirichlet L-Función

Question

Estoy leyendo Stein y Shakarchi del Análisis de Fourier de texto y la prueba del teorema de Dirichlet y estoy en busca de una aclaración sobre cómo se deriva la siguiente para grandes $s$, $\lim_{s\to\infty}$ y $\chi_q$ es un carácter de Dirichlet para $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$.

$|L(s,\chi_q) - 1| \le 2q \sum_{n=2}^\infty n^{-s}$

Todo lo que puedo llegar a es

$|\chi(n)| \le 1$

entonces

$|L(s,\chi)| \le \sum_{n=1}^\infty n^{-s}$

y

$|L(s,\chi)| - 1 \le \sum_{n=2}^\infty n^{-s}$

Lo que me estoy perdiendo aquí? De donde viene y que es necesaria para demostrar el obligado

$L(s,\chi) = 1 + O(2^{-s})$

Answer 1

Deje $S(t)=\sum_{2\leq n\leq t}\chi(n)$, y supongamos que $s>1.$ Usando integración por partes, tenemos que $$\sum_{n=2}^{\infty}\chi(n)n^{-s}=\int_{2}^{\infty}t^{-s}d\left(S(t)\right)=s\int_{2}^{\infty}S(t)t^{-s-1}dt,$$ and by applying the trivial bound $|S(t)|\leq q,$ it follows that $$\left|\sum_{n=2}^{\infty}\chi(n)n^{-s}\right|\leq q2^{-s}.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ Another possible bound, as you noted, is $$\left|\sum_{n=2}^{\infty}\chi(n)n^{-s}\right|\leq\sum_{n=2}^{\infty}n^{-s}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2),$$ however, we can ask, does equation $(1)$ have any advantages over equation $(2)$? The answer is yes if we care about $s$ close to $1$. As $s$ approaches $1$, the bound in equation $(2)$ goes to infinity, and in particular, by taking the limit as $s\rightarrow 1$, equation $(1)$ implies that $L(1,\chi)$ es finito.

Este es un detalle menor, y aunque dudo que los autores agregan la $q$ a un resultado uniforme en $s\in[1,\infty)$, es probable que se utilizó el método de la suma parcial. Como se encontró, por la cuestión de la $s\rightarrow \infty$, el trivial obligado funciona mejor.

Answer 2

Ok, he leído esta sección del libro y tiene una explicación de las $2q$, y sigue a lo largo de líneas similares a lo que Eric escribió, pero creo que este argumento está más en línea con lo que el libro estaba sugiriendo para un gran $s$.

Deje $s_k = \sum_{n=2}^{k}\chi(n)$

Entonces podemos reescribir, $\sum_{n=2}^{\infty}\chi(n)n^{-s} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{s_k - s_{k-1}}{n^{s}}$

Y ya sabemos que $|s_k| = |\sum_{n=2}^{k}\chi(n)| \le q$

A continuación, $|s_k - s_{k-1}| \le 2q$ $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{s_k - s_{k-1}}{n^{s}} \le \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2q}{n^{s}}$