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Question

Encontrar el límite siguiente: $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{n}$ $

¿Mi intuición dice que esto va a cero, porque $1/n$ va mucho más rápido a cero de la serie armónica ir hasta el infinito, pero cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Si sabes que $1+\frac12 +\cdots+\frac1n\approx \ln n$ y $\frac{\ln n}n\to 0$, haya terminado.

Más elemental, su límite es la suma de Cesáro de la secuencia $(\frac 1n)$, por lo tanto tiene el mismo límite $0$. Es decir: $$\lim_{n\to\infty} a_n= a \qquad\Rightarrow\qquad \lim_{n\to\infty} \frac{a_1+\cdots+a_n}n= a$ $

Answer 2

Lo quiero hacer aquí es encontrar un límite superior de $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots$. Es decir, desea reemplazar cada término en esa serie con un término más grande de tal manera que las cantidades son más fáciles de hacer. Una forma inteligente de hacer esto (que pensé tratando de modificar la clásica prueba de divergencia de Oresme al exhibir un límite inferior) es tener en cuenta que es menor que %#% $ #%

La suma de los primeros #% de %#% los términos de esta secuencia es $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \ldots.$. Que debería ser suficiente para demostrar este límite directamente.

Answer 3

Sugerencia: compare la serie armónica con $\log n$, comparando con $\int_1^{n+1}\frac 1 x dx$. Utilizar de l'Hopital.