Sobre el período decimal de $\frac 17$

Question

Es fácil comprobar que $$\frac 17=\frac {142857}{999999}$$ where $142857$ is the decimal period of $\el frac de 17$.

Este período, que tiene seis dígitos diferentes, tiene la propiedad de que cuando se multiplica por $1,2,3,4,5,6$, los respectivos productos tienen los mismos seis dígitos en posición diferente (Claramente, multiplicado por el $7$ debe dar $999999$).

Es $ 142857 $ el único número de seis dígitos que tiene esta propiedad?

Answer 1

Así será cierto para el período de $1/n$ fib el orden de $10 \bmod n$$6$, pero usted tendrá que considerar los diferentes conjuntos de multiplicadores.

Para $n<100$, los ejemplos son $n=7, 13, 21, 39, 63, 77, 91, 97$. (*)

Para $n=13$, el número de es $076923$ (vamos a aceptar esto como tener seis dígitos) y hay dos ciclos: uno para los multiplicadores $1,3,4,9,10,12$ y uno para $2,5,6,7,8,11$.

(*) Al parecer, sólo hay $53$ ejemplos; ver A059892 y A226477.