Números que claramente NO son un Cuadrado

Question

Aunque nunca he estudiado matemáticas muy en serio, he oído hablar de El problema de Brocard que pide soluciones enteras para la siguiente Ecuación Diofantina: $$n!+1=m^2$$

Se conjetura que las únicas soluciones son $(4,5),(5,11),(7,71)$ y no hay soluciones para $n < 10^{9}$ .

Sin embargo, está claro que hay una cantidad infinita de $n$ donde es sencillo comprobar $n!+1$ no es un cuadrado.

Por ejemplo $n=81$ . Supongamos que $81!+1$ es un cuadrado.

Esto implica que $81!-1=a^2-2$ para algún número entero $a$ .

Tenga en cuenta que Teorema de Wilson , $82!\equiv -1 \pmod {83}$ lo que implica $81! \equiv 1 \pmod {83}$ .

Así, $a^2-2 \equiv 0 \pmod {83}$ . Una contradicción, ya que $2$ no es un residuo cuadrático de $83$ .

De forma análoga, podemos afirmar que para todo $n>5$ donde $n+2$ es un número primo $p$ tal que $ p \equiv 3,5 \pmod 8$ entonces $n!+1$ no es un cuadrado.

Mi pregunta es, ¿hay otros números enteros $n$ donde es sencillo comprobar $n!+1$ ¿no es un cuadrado? Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Tu bonito argumento se puede generalizar.

Por ejemplo $n=80$ . Dedujiste del Teorema de Wilson que $81!\equiv 1\pmod {83}$ . Ahora $$80!\equiv \frac{1}{81}\equiv -\frac{1}{2}\pmod{83}.$$ Aquí $\frac{1}{2}$ significa la inversa de $2$ modulo $83$ . De ello se deduce que $80!+1\equiv -\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\pmod{ 83}$ . Porque $2$ no es un residuo cuadrático módulo $83$ tampoco lo es su inversa, por lo que $80!+1$ no puede ser un cuadrado. Por supuesto, esto funciona para cualquier $n$ para lo cual $n+3$ es primo congruente con $3$ ou $5$ modulo $8$ .

En términos más generales, para cualquier primo $p$ y entero positivo $k\leq p-1$ , $$ (p-k)!+1\equiv \frac{(-1)^k}{(k-1)!}+1=\frac{(k-1)! \big[(k-1)!+(-1)^k\big]}{((k-1)!)^2}\mod p. $$ Así que $(p-k)!+1$ es un residuo cuadrático módulo $p$ sólo si $(k-1)! \big[(k-1)!+(-1)^k\big]$ es un residuo cuadrático. A través de la reciprocidad cuadrática esto se puede traducir a una condición sobre $p$ .

Para cada $k\geq 1$ hay una condición similar a la suya. Voy a enumerar las tres primeras (empiezan a complicarse muy rápido). La cantidad $n!+1$ no puede ser un cuadrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• $n+2$ es un primo congruente con $3$ ou $5$ mod $8$
• $n+3$ es un primo congruente con $3$ ou $5$ mod $8$
• $n+4$ es un primo congruente con $5$ , $9$ , $21$ , $23$ , $31$ , $37$ , $43$ , $45$ , $49$ , $51$ , $55$ , $57$ , $59$ , $65$ , $67$ , $69$ , $71$ , $73$ , $77$ , $81$ , $83$ , $85$ , $87$ , $91$ , $95$ , $97$ , $99$ , $101$ , $103$ , $109$ , $111$ , $113$ , $117$ , $119$ , $123$ , $125$ , $131$ , $137$ , $145$ , $147$ , $159$ o $163$ mod $168$ .

Los primos en el tercer caso son exactamente aquellos para los que $42$ es un no-residuo cuadrático.