Hay una manera de demostrar que la orden de un elemento en un grupo divide el orden del grupo, sin uso de LAGRANGE ' S

Question

Este es un sistema muy fácil de hecho utilizamos en Teoría de grupos,

Pero de alguna manera, me preguntaba que si no puede ser de otra manera (aparte del Teorema de Lagrange) para demostrar que el orden de un elemento que divide al orden del Grupo.

He tratado de ir en el término "exponente" del Grupo (sólo suponga que G es un Grupo Finito), que podemos definir el mínimo común múltiplo de los pedidos de elementos de G. Pero este exponente divide $|G|$, ya que el orden de cada elemento divide $|G|$. Así que se convirtió en una pequeña paradoja.

He de pensar que; antes de enseñar esta hecho en un Curso, uno debe enseñar acerca de Lagrange es primero?

Answer 1

Hay un bonito, Lagrange libre de la prueba de Abelian grupos.

Deje $G$ ser un Abelian, grupo finito de orden $n$, y deje $G = \{a_{1}, \dots, a_{n} \}$. Deje $x \in G$.

El mapa $$ G \G \qquad \mapsto una x $$ es fácil de ver para ser un bijection, por lo que el $G = \{a_{1} x, \dots, a_{n} x \}$. Por lo tanto $$\etiqueta{clave} \prod_{i=1}^{n} a_{n} = \prod_{i=1}^{n} a_{n} x) = \left(\prod_{i=1}^{n} a_{n}\right) x^{n}. $$ Simplificando, obtenemos $x^{n} = 1$

Tenga en cuenta que en (clave) he cambiado la posición de los términos en los productos, aprovechando el hecho de que $G$ es abelian.

Answer 2

Como ya he mencionado, aquí es una manera de mostrar que el orden de cualquier elemento que divide al orden del grupo, que no hace uso de Lagrange. En su lugar, utiliza un montón de conocimientos acerca de las permutaciones, que a veces se han introducido antes de Lagrange.

Así que vamos a $x\in G $ y tenga en cuenta que $a\mapsto xa $ define una permutación de $G $. Para escribir esta permutación como producto de ciclos disjuntos, con la más corta de la longitud de la $m $.

Ahora $x^m $ tiene un punto fijo (de cualquier elemento de la $m $-ciclo). Pero esto significa que $x^mb = b $ algunos $b\in G $ e lo $x^m= 1$. Sin embargo, si no existe también un ciclo de longitud $k>m $ en la descomposición de la $x $, entonces ningún elemento en este ciclo sería fijado por $x^m $, pero desde $x^m $ fue igual a $1$ esto es claramente absurdo, así que llegamos a la conclusión de que todos los ciclos tienen la longitud $m $.

Ahora llegamos a la conclusión ya que la suma de las longitudes de los ciclos es, precisamente, el orden del grupo, con lo $m $ se divide este y es claramente el orden de $x $.