Ecuaciones diferenciales ordinarias en cosmología

Question

Estoy leyendo sobre algunos Cosmología notas y hay una pequeña ODA a resolver que no estoy entendiendo.

Tengo una ecuación de la forma:

$$ \ddot{R}=-\frac{GM}{R^{2}} $$

Integrando se obtiene:

$$ \dot{R}^{2}=+\frac{2GM}{R}+C $$

Las notas son esencialmente diciendo que esto se puede resolver con un parámetro de $\theta$:

Alguien podría ejecutar a través del método para la resolución de la educación a distancia como este.

En términos de densidad de esto puede ser escrito como:

$$ \dot{R}^{2}=\frac{4\pi{G}}{3}\rho_{0}R $$

Answer 1

(Esta integral también viene en el brachistochrone problema, por cierto.)

Modificaciones en un integrable forma da $$ \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{-2GM/C-R}} \dot{R} = \sqrt{-C}, $$ así que establezca $K=-2GM/C$. La integración de ambos lados, $$ \int_0^R \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{K-r}} \, dr = \sqrt{-C}t. $$ Haciendo la sustitución de $r=K(1-u^2)$, lo $dr=-2Ku\, du$ integral simplifica a $$ \int_{\sqrt{1+r/K}}^1 \frac{\sqrt{K}\sqrt{1-u^2}}{\sqrt{Ku^2}} 2u K \, du = 2K \int_{\sqrt{1+r/K}}^1 \sqrt{1-u^2} \, du, $$ donde he escogido el signo de $\sqrt{1+r/K}$ que da un resultado positivo $t$, por razones obvias. Pero esta es el área debajo de la circunferencia de radio $K$, entre las líneas verticales $u=0$$u=\sqrt{1+r/K}=:U$; algunos de geometría simple muestra de que podemos encontrar este como $$ \sqrt{-C}t = K \left(- U\sqrt{1-U^2}+\arccos{U} \right), $$ es decir, la diferencia de un sector y de un triángulo, y si luego, hacemos la sustitución de $\theta=2\arccos{U}$ (es decir, dos veces el ángulo desde el eje horizontal a la radio a través de $(U,\sqrt{1-U^2})$), esto se simplifica a $$ t=\frac{K}{2\sqrt{-C}}(\theta-\sin{\theta}); $$ la inversión de la ecuación de $r$ da $$ r=\frac{K}{2}(1-\cos{\theta}), $$ y a continuación, puede ver que las relaciones entre el $K,A,B,C,GM$ todo el trabajo. Probablemente hay una mejor manera de obtener esta con el$A$$B$, pero esto es básicamente como el cálculo real de las obras.