Esta tal vez sea una unenlightening pregunta, pero aquí voy. Esperemos que alguien puede varify mis pensamientos.
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Considerando Mentira Teoría de grupos y Teoría de la Representación, para el caso de la $SO(3)$, el especial ortogonal grupo de $3\!\times\!3$-matrices, es el adjunto de la representación de la misma como la base fundamental de la representación?
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Creo que el debe ser, ya que los fundamentales de la representación se define como
$$ \mathcal{D}(g) = g $$
que para $ O \in SO(3) $ $3\!\times\!3$- matriz, y por lo tanto actúa sobre un espacio vectorial $V \subset \mathbb{R}^3$.
Por otra parte, el adjunto de la representación se define como la representación que actúa en un espacio vectorial whoes dimensión es igual a la del grupo. Es decir, $U \subset \mathbb{R}^n$ donde
$$ \dim(G) = n $$
Sabemos que, por la especial ortogonal grupo
$$ \dim[SO(n)] =\frac{n(n-1)}{2} $$
Así, en el caso de $SO(3)$ esto es
$$ \dim[SO(3)] =\frac{3(3-1)}{2} = 3 $$
Por lo tanto necesitamos que el medico adjunto de la representación para actuar en algunos de los vectores en algún espacio vectorial $W \subset \mathbb{R}^3$. Que opción obvia para mí es el $SO(3)$ matrices de sí mismos, pero me parece que no puede encontrar esta escrito en ninguna parte.
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Así que, para concluir, estoy en lo correcto al pensar que los fundamentales de la representación y el adjunto a la representación de $SO(3)$ son los mismos?
Si es así, ¿hay algún 'especial' consecuencias para ellos, siendo el mismo? Es generalmente el caso de que lo fundamental en la representación y el adjunto a la representación de un grupo no es la misma, al mejor de mi conocimiento. Lo cierto es que están definidos como cosas diferentes.
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Por el camino, yo soy una de matemáticas-estudiante de física, y no tienen ningún pura clase de matemáticas en la teoría de la representación, sólo un 'para los físicos en uno! Esta pregunta ha surgido en vano.
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Gracias!
