Significado físico de los operadores cuánticos

Question

Supongamos que tenemos una función de onda $\psi$ y de la medición del operador $\hat A$.

Entiendo cómo los autovalores y autovectores de a $\hat A$ describir los posibles resultados de la medición.

También entiendo que el promedio de la medición puede ser calculada como $\langle \psi|\hat A|\psi\rangle$.

Todavía no está claro para mí lo que la directa significado de $\hat A |\psi\rangle$ es. Se trata de una función de onda; ¿cómo su correspondiente estado cuántico se relacionan (en términos físicos) a su estado original $\psi$ y la medición de $\hat A$?

Answer 1

No creo que la acción $A\psi$ tiene un significado físico directo, al $A$ es un genérico observable.

Esto es debido a que la interpretación de un sistema cuántico como un modelo matemático de los rendimientos de la función de onda y su correspondiente espacio de Hilbert como una especie de subproducto. De hecho, el estado no siempre puede ser una función de onda: sin entrar demasiado en detalles, digamos que es solo un objeto matemático adecuado para evaluar las características observables.

Los objetos matemáticos, física directa relevancia son observables y los estados; y la acción de un observable en el estado (o viceversa) se asume que la evaluación (en promedio) del proceso.

Sin embargo, ya que esto (resumen) sistema matemático que ha QM como un modelo corresponde exactamente a la de Hilbert estructura de wavefunctions y auto-adjuntos a los operadores, puede ser útil e importante para el estudio del comportamiento de $A\psi$, con el fin de mejorar el conocimiento del sistema, así como para hacer las predicciones de la física.

Por ejemplo, el comportamiento de $H\psi$ donde $H$ es el operador Hamiltoniano (energía observable), está directamente relacionado con el tiempo de evolución del sistema (ecuación de Schrödinger).

Answer 2

Para agregar a Yuggib la Respuesta, que estoy completamente de acuerdo: nunca me han gustado especialmente el nombre de "operador" para un "observable", porque el primero implica una asignación y, por tanto, que la imagen de $\hat{A}\,\psi$ tiene un significado físico directo. Como en Yuggib la Respuesta, en general no hay una directa significado físico. Por el contrario, un "observable", como me gusta pensar en las cosas, es un operador junto con una receta de cómo interpretar sus predicciones al estado $\psi$ prevalece, a saber, que:

1. La distribución de probabilidad de la medición, modelado por la observables ha $n^{th}$ momento $\langle \psi|\hat{A}^n|\psi\rangle$, de donde, con todos los momentos calculados por lo tanto, podemos deducir la distribución de la misma.

2. Inmediatamente después de la medición, el estado cuántico $\psi$ es un autovector $\psi_{A,\,j}$$\hat{A}$, la medición de resultados es la correspondiente autovalor y la "elección" de la autovector es "al azar", con la probabilidad de su ser $\psi_{A,\,j}$ dada por el cuadrado de la magnitud $|\langle \psi | \psi_{A,\,j}\rangle|^2$ de la proyección del estado de $\psi$ antes de la medición en el autovector $\psi_{A,\,j}$ en cuestión.

Dado el punto 1. arriba, otro dato útil para el cálculo del $\mathscr{P}(k)=\langle \psi|\exp(i\,k\,\hat{A})|\psi\rangle$, que es la función característica de la distribución de probabilidad.

Answer 3

Observables corresponden a determinadas cosas que puede hacer en el laboratorio (o de observar en la naturaleza). Así que primero vamos a hablar de algo que usted puede hacer en el laboratorio.

Usted puede tomar una partícula con spin y se la somete a un no homogeneidad del campo magnético. Una partícula con spin tiene un momento magnético proporcional a la vuelta y sabemos que a Hamiltoniano de una partícula con un momento magnético en un externalmagnetic campo. Así obtenemos un término en el Hamiltoniano proporcional a $B_x\hat\sigma_x+B_y\hat\sigma_y+B_z\hat\sigma_z.$ En cada punto, esto es un Hermitian operador. Por la configuración del campo magnético a punto en el $\hat z$ dirección y a ser homogénea en esa dirección podemos enviarle una viga en la que se eigen a$\hat\sigma_z$, y se desvía hacia arriba o hacia abajo (dependiendo del valor propio y de cómo hicimos el campo varían en la dirección z) y esta desviación ocurre, literalmente, a causa de la evolución determinada por la ecuación de Schrödinger cuando usted tiene un término en el Hamiltoniano proporcional a $B_x\hat\sigma_x+B_y\hat\sigma_y+B_z\hat\sigma_z.$

Y así, ahora, cuando usted tiene un estado general y de nuevo evolucionar de acuerdo a la ecuación de Schrödinger cuando usted tiene un término en el Hamiltoniano proporcional a $B_x\hat\sigma_x+B_y\hat\sigma_y+B_z\hat\sigma_z$ entonces el entrante espacial del estado se divide el haz en dos haces, uno va hacia arriba y uno abajo y el tamaño de los dos haces es tal que la corriente total en cada viga tiene una proporción igual a la relación de la proyección del spin estado en los estados propios de $\hat\sigma_z.$ Nuevo, ese hecho está determinado por la ecuación de Schrödinger evolución para él estado real del objeto (la cosa con spin) y la de Stern-Gerlach dispositivo (la cosa con la no homogeneidad del campo magnético). Y el spin estado evoluciona de manera que la rama en la que está espacialmente desviado hasta hace girar y la rama que se desvían hacia abajo se hace girar hacia abajo. Y de nuevo este conos de la evolución determinada por la ecuación de Schrödinger cuando usted tiene un término en el Hamiltoniano proporcional a $B_x\hat\sigma_x+B_y\hat\sigma_y+B_z\hat\sigma_z$ entonces el entrante espacial del estado se divide su

Así se conoce la causa de las mediciones. Dispositivos de interacción con los sujetos de acuerdo a las leyes de la física. El Hamiltoniano tiene siempre un término proporcional a $B_x\hat\sigma_x+B_y\hat\sigma_y+B_z\hat\sigma_z$ cuando hay una partícula con spin y un campo magnético externo, no hay posibilidad de elección acerca de si está allí.

Y sabemos que los efectos de las mediciones, se separaron de los estados en un sol de los estados. Cada cada término de la suma tiene un eigenstate del operador y de los que eigenstate se enreda con algún otro estado. En este ejemplo el spin estado enredado con la posición de estado de la partícula. Desvió hasta enreda con giro, y se desvía hacia abajo enreda con espín hacia abajo.

Así que el único misterio es por eso que lo llamamos de medición. Y eso es debido a que la polarización, ahora bien, si usted lo pone en un dispositivo similar, de nuevo no va a ser dividido acaba de ser desviado. El real medición del efecto ocurre más tarde, cuando estos diferentes estados tienen una probabilidad de afectar los estados de muchas otras cosas, así que las dos ramas ya no puede interactuar sólo porque es demasiado duro para conseguir que cada vez superposición de nuevo.

Así que ahora a la cuestión de operador. No es al azar los operadores, es que los operadores que tienen real de los autovalores y que han ortogonal de vectores propios. Eso es lo importante. Por qué?

El real autovalores permitir la continua división de un estado en los múltiples estados propios, que es lo que permite que la ecuación de Schrödinger para ser capaz de dividir el estado para enredar a las proyecciones con algo más de una manera continua (que es lo que la ecuación de Schrödinger se requiere y tenemos que evolucionar de acuerdo a la ecuación de Schrödinger para la instalación experimental no hay posibilidad de elección acerca de eso y no hay otras opciones). Para hacerlo realmente bien, usted tiene que encontrar algo más a la par con los vectores propios para obtener el enredo. Y por que en realidad no se puede apenas hacer nada, que se limita a términos reales en los reales Hamiltonianos y la naturaleza sólo proporciona muchos para elegir.

Entonces, ¿por qué necesitamos los autoestados ser ortogonales. Que es la clave para conseguir que hacerlo dos veces obtener la misma respuesta. De lo contrario es sólo una interacción, no una medición.

Para llamar a algo una medida que, básicamente, tiene que ser un verdadero combinación lineal de las proyecciones ortogonales sobre mutuamente ortogonales de los estados. Y así tienen que ser los operadores, muy en particular de los operadores. Y usted sólo puede realmente observador si se puede encontrar algo más a la pareja de manera diferente a los diferentes estados.

Todavía no está claro para mí lo que la directa significado de $\hat A |\psi\rangle$ es.

El punto es que los diferentes valores que recibe de $\hat A |\psi\rangle$ dígale a la otra cosa que es enredarse con su objeto el cambio continuo en las diferentes tasas dependiendo del autovalor.

Por ejemplo, si tienes un general de tirada estatal, a continuación, por un determinado campo magnético de espín cero no es pareja en todo lo que no se desvía en todas y la más baja de vueltas distinto de cero desviar pero desviar menos que las grandes tiradas para desviar en direcciones opuestas, pero a una tasa de alimentación de movimiento en la desviado de la dirección. Así spin cero va recto, girar a $\pm 1/2$ te mandan un poco arriba y abajo y girar a $\pm 1$ se envían más arriba y más abajo. Y me refiero a la componente z t 0, 1/2 o 1 que yo por qué he incluido el signo menos para dejar eso claro. Así que el autovalor decirle cómo separados de la cosa (la cosa se utiliza la medida del estado) se convierte en. Esto es, literalmente, por qué el proyecto en un espacio propio. Cuando dos cosas tienen el mismo valor propio de la cosa que usted pareja con no moverse de manera diferente para las cosas con el mismo autovalor de modo que no se separó en todo lo que la totalidad de la proyección sobre los subespacios propios se involucra con el mismo estado de la cosa con que se mida.

Se trata de una función de onda

Las funciones propias son las que no cambian en mediciones repetidas hijo sea desviada en diferentes formas como un parametrizadas por el real umber autovalor.

¿cómo funciona su correspondiente estado cuántico se relacionan (en términos físicos) a su estado original $\psi$ y la medición de $\hat A$?

El estado original, puede ser descompuesto como autoestados y evolucionan en enredados estados independientes. Así que cuando los separaron las distintas autoestados enredados con los distintos estados de la cosa con que se mida. Spin es más fácil ya que se enreda con su propia posición así que realmente no tienen que traer nada más que la no homogeneidad del campo magnético.