Dejemos que $a,b,c$ sean enteros no negativos con $gcd(a,b,c)=1$ . Considere un número entero positivo dado $n$ y enteros positivos $i,j$ .
Dejemos que $f_n(a,b,c)$ sea el número de soluciones distintas de $1<ai + bj + cij<n$ .
Por ejemplo $f_n(1,1,2) = n-(\pi(2n+1)-1)$ donde $\pi$ es la función de recuento de primos.
Y por supuesto $f_n(0,0,1)=n-\pi(n)$ . Otros fáciles son $f_n(0,b,c)$ o $f_n(a,b,0)$ .
Pero, ¿qué pasa con el caso general? ¿Qué pasa con $f_n(2,3,5)$ ?
Supongo que hay mucha teoría detrás de esto, como identidades de forma cerrada, recursiones, series L relacionadas, análogos de GRH y tamices. ¿Y qué pasa con el método del círculo? ¿Puede usarse aquí?
¿Existen generalizaciones para la PNT?
Me gustaría entender $f_n(a,b,c)$ mejor.
¡¡EDITAR !!
He visto a tommy1729 hoy y ha adivinado que para $a=2,2<p<q$ y $p,q$ un gemelo primo o un par primo sophie germain, tenemos que $f_n(2,p,q)$ ~ $n - \dfrac{\alpha\pi(n)}{q!}$ donde $\alpha$ es un número entero.
Por ejemplo $f_n(2,3,5)$ debe ser de $n - \dfrac{\pi(n)}{k}$ donde $k$ es $2$ o $3$ . Se supone que la "lógica" es que tamizamos los múltiplos del tipo $5n+2$ o $5n+3$ para números del tipo $5n + 6$ como se explica en la respuesta de Gerry Myerson.
Esta parte tamizada se supone que es algo así como $\dfrac{n}{\sum \dfrac{1}{5y+m}}$ para $m=2,3$ o tal, desde donde $n - \dfrac{\pi(n)}{k}$ sigue.
Me preguntaba por productos como $\prod_{X=5n+2} (1-\dfrac{1}{X})$ .
Me fascinó esa rápida suposición bruta que hizo. ¿Podría ser cierto?
COMENTARIO
Se me olvidó mencionar a sophie germain prime pair en mi primera edición así que edité mi primera edición, y por este comentario espero que no pase desapercibido. Lo siento por ser descuidado.
