el uso de la linealidad a resolver ode

Question

Resolver la siguiente ecuación diferencial para x(t)

\begin{equation} \frac{dx}{dt}+ax= b\sin(kt) \\ \end{equation} sujeto a la condición inicial $x(0) = 0$.
usted puede utilizar

\begin{equation} e^{ikt} = \cos(kt) + i \sin(kt) \end{equation}

mi pregunta es cómo linealidad utiliza con el fin de que la solución para que contenga sólo la parte real? y ¿por qué hemos permitido sustituir

\begin{equation} e^{ikt} \end{equation} para $b\sin(kt)$ a fin de resolver?

Answer 1

Acabo de multiplicar todo por $e^{at}$ obtener $$e^{at}\frac{dx}{dt}+ae^{at}x=be^{at}\sin(kt),$$ y, a continuación, reconocer la LHS, como un total de derivados (regla del producto): $$\frac{d}{dt}(xe^{at})=be^{at}\sin(kt).$$ Integrar ambos lados para obtener $$xe^{at}=\frac{b e^{at}[a \sin(kt)-k\cos(kt)]}{a^{2}+k^{2}}+C,$$ y, finalmente, $$x=\frac{b[a \sin(kt)-k\cos(kt)]}{a^{2}+k^{2}}+Ce^{-at}.$$ Conectar su condición inicial determinará $C$.

Answer 2

El uso de $e^{ikt} = \cos(kt) + i \sin(kt)$, lo que si usamos la sustitución de $e^{ikt}$ y, a continuación, hacer uso de la linealidad a tomar sólo la parte que nos falta, es decir, la parte imaginaria de la solución.

Tenga en cuenta que este problema es fácil de resolver mediante los métodos típicos (homogénea y particular con coeficientes indeterminados), pero si he leído tu pregunta correctamente, se está pidiendo el uso de la linealidad con el fin de entender cómo este método puede ser usado.

Actualización

Aquí es el proceso de utilizar el enfoque que se le está pidiendo.

$$\tag 1 \dfrac{dx}{dt} + ax = b \sin kt$$

con condición inicial $x(0) = 0$.

El problema nos pide el uso de la linealidad haciendo uso de $e^{ikt} = \cos kt + i \sin kt$.

Esto nos permite resolver el DEQ el uso de la exponencial compleja y al final tomar la parte imaginaria de la solución, porque esta es una combinación lineal y sólo necesitamos que la parte imaginaria.

Así, podemos reescribir $(1)$ como:

$$\tag 2 \dfrac{dx}{dt} +ax = b e^{ikt}$$

Para solucionar $(2)$, podemos hacer uso de un factor de integración, como:

$$\displaystyle \dfrac{d}{dt}(e^{at}x) = be^{(a+ ik)t}$$

La integración de $0 ~\text{to}~ t$, se obtiene: $e^{at}x = b\dfrac{1}{a + ik}\left(e^{(a+ik)t} - 1 \right)$

Así,

$$\displaystyle x(t) = b \dfrac{1}{a+ik}\left(e^{ikt}-e^{-at} \right)$$

Así, debido a la combinación lineal, sólo tenemos que tomar la parte imaginaria de este resultado y terminar con:

$$\displaystyle x(t) = \dfrac{b \left(ke^{-at} + a \sin kt -k \cos kt \right)}{a^2 + k^2}$$

Answer 3

La solución a la ecuación homogénea se puede encontrar desde $\frac{dx}{dt} + ax = 0$ (exponencial). Una solución particular de la no homogénea de la ecuación deben ser solicitados en el formulario de $Ae^{ikt}+B$, entonces usted puede encontrar Un exigiendo que los coeficientes por $cos$ términos se $0$, y las de la $sin$ parte equiparar el lado derecho (1). Además, desde el $x(0) = 0$, no $cos$ términos pueden estar presentes, y tiene dos condiciones para$A$$B$. Agregar la general y en particular, soluciones de manera conjunta para obtener la respuesta. Buena suerte!