Cómo optimizar una función racional

Question

Solo un problema de cálculo:

Como función de $K \geq 1$, ¿cuál es el valor mínimo de $f/a + f/b + f/c + f/d + f/e$ sujeto a las siguientes restricciones? $$\begin{cases} 1 \leq a \leq c \\ 1 \leq b \leq c \\ 1 \leq d \\ 1 \leq e \\ f = \frac{a^2 b^2 d e}{c} \\ f = K \end{cases}$$

Estoy bien con una respuesta razonablemente detallada de "así es como haces este cálculo", o una respuesta de "así es como preguntarle a Wolfram Alpha/Maple" (que funcione). Necesito poder manejar variaciones (la fórmula para f siempre es un "monomio" pero las potencias en las variables pueden cambiar, y las desigualdades entre las variables $a,b,c,d,e$ podrían cambiar ligeramente, aunque siempre son al menos 1).

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Una versión que puedo hacer: Como función de K 1, encuentra el valor mínimo de $f/a + f/b + f/c + f/d + f/e$ sujeto a las siguientes restricciones: $$\begin{cases} 1 \leq a,b,c,d,e \\ f = abcde \\ f = K \end{cases}$$

Esta versión es altamente simétrica y básicamente entiendo la región sobre la que estoy optimizando. Establecer cualquier variable en 1 resulta en una solución altamente no óptima, por lo que el mínimo ocurre en el medio de la superficie donde abcde = K, y por lo tanto el gradiente de la función objetivo es un múltiplo escalar de la normal a la superficie. Ambos son muy simétricos y el álgebra involucrada en resolverlos es casi tonta. La respuesta es el esperado $a=b=c=d=e=K^{1/5}$ debido a la simetría.

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Motivación: En el fondo, $a,b,c,d,e,f$ son todos enteros impares positivos que describen la estructura de un grupo desconocido. En las encarnaciones anteriores de este problema, asumí que eran números reales limitados por debajo por 1, y el mínimo de cálculo fue de hecho el mínimo de teoría de grupos.

En el nuevo problema, le pedí a Maple que diera una oportunidad al problema no restringido (excepto por las restricciones de "f\="), y afirma que solo hay un máximo o mínimo local, y que implica muchos números negativos. Supongo que eso significa que el mínimo está en una "esquina" (discontinuidad de la función que define el límite de la región factible), pero no tengo idea de qué significa eso en más de 2 dimensiones, y estoy un poco nervioso de que tal respuesta esté equivocada, al menos desde el punto de vista de la teoría de grupos.

Answer 1

Ahora resuelto (más o menos). En caso de que alguien quiera verlo:

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Solución tal como se indicó: En primer lugar, tal como se indicó, el problema probablemente sea tonto. Establece a=b=c=d=e=∞, f=1, (asegúrate de que c tienda a infinito a la tasa correcta), y el mínimo es 0.

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Correcciones: Como les digo a mis estudiantes: es posible que un problema de la vida real no tenga límites, pero generalmente eso significa que alguien olvidó una restricción.

Las restricciones olvidadas son que a, b, c, d, e ≤ f. ¡Qué diferencia eso hace!

Además, siendo honesto, ¡la función objetivo también estaba mal! Obj = 2f/a + 2f/b + f/c + f/d + f/e. Olvidé algunos 2s. Esto reparará algo de simetría en la respuesta.

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Solución:

Ahora tenemos un politopo compacto para comenzar: Fija f=K. Ahora 1 ≤ a ≤ c ≤ f, 1 ≤ b ≤ c ≤ f, 1 ≤ d ≤ f, 1 ≤ e ≤ f. Por supuesto, cortamos una superficie hipersuperficie de esto: f = aabbde/c.

El conjunto resultante es compacto y por lo tanto en realidad se obtendrá el mínimo. Podría ocurrir en dos tipos de lugares: en el "medio" de la hipersuperficie, para que el politopo no importe, o en el límite del politopo, de modo que en cierto sentido débil la hipersuperficie no importe.

¿Cuál es? Si estuviera en el medio de la hipersuperficie, entonces se aplicarían los multiplicadores de Lagrange:

∇obj = ( -2f/(aa), -2f/(bb), -f/(cc), -f/(dd), -f/(ee) )

∇sur = ( 2abbde/c, 2aabde/c, -aabbde/(cc), aabbe/c, aabbd/c )

La dirección de mayor disminución en la función objetivo debería ser normal a la hipersuperficie, y por lo tanto hay algún número real λ tal que: λ ∇obj = ∇sur.

Verificamos lo que esto significa en las primeras y terceras componentes. Por un lado, -2λf/(aa) = 2abbde/c, por lo que -λf/a = aabbde/c = f, y por lo tanto a = -λ. Por otro lado, -λf/(cc) = -aabbde/(cc), por lo que -λf/c = -aabbde/c = -f, y c = λ. ¡En particular, no se pueden tener a y c positivos!

Esto contradice nuestras restricciones del politopo, por lo que el mínimo ocurre en el límite. ¿Dónde? Bueno, esto es un poco dudoso, pero creo que es "claro" que la desigualdad que necesita convertirse en igualdad es c ≤ f. Queremos que c sea grande, para que a, b, d, e puedan ser grandes.

De acuerdo, así que establece c=f y vuelve a hacer el problema:

Para fijo f, minimiza obj = 2f/a + 2f/b + f/d + f/e + 1 sujeto a cada variable a, b, d, e limitada entre 1 y f, y sujeta a ff = aabbde.

Nuevamente tenemos la intersección de un politopo (¡un hipercubo!) con una hipersuperficie, por lo que verificamos primero los extremos medios:

∇obj = (-2f/(aa), -2f/(bb), -f/(dd), -f/(ee) )

∇sur = ( 2abbde, 2aabde, aabbe, aabbd )

Debe haber un número λ tal que λ∇obj = ∇sur. Examinamos las componentes: -2fλ/(aa) = 2abbde, -fλ/a = f, y a = -λ. Del mismo modo, b = -λ. Entonces -fλ/(dd) = aabbe, -fλ/d = aabbde = f, y nuevamente d = -λ. Del mismo modo e = -λ.

Por lo tanto, nuestra solución es:

$$ a=b=d=e = f^{(1/3)}, c=f, \min = 6f^{(2/3)} + 1$$

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Advertencia: Uno debería ser mucho más cauteloso al verificar el límite, pero esta respuesta coincide con mi noción preconcebida y por lo tanto estoy contento por ahora.