La equivalencia de la métrica en el espacio de absolutamente summable secuencias.

Question

Deje $S=\{\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}: a_n\in\mathbb{R}, \sum|a_n|<\infty\}$. Determinar si las métricas $d(\{a_n\},\{b_n\})=\sum|a_n-b_n|$ $\rho(\{a_n\},\{b_n\})=\sup|a_n-b_n|$ son equivalentes métricas (equivalente en el sentido de la convergencia de las secuencias).

He demostrado que ambos son métricas y están bien definidos. También he demostrado que si $\{\{x_n\}_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ es una secuencia en $S$ tal que converge en $d$ luego converge en $\rho$ (esta parte es trivial debido a que $\rho\leq d$). Necesito determinar si el contrario es verdadero o falso.

Answer 1

No es cierto,

Definir $a_n$ una secuencia de secuencias como sigue $$a_1 = (1,0,0, \cdots,0, \cdots $$ $$a_2 = (\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0,0 \cdots,0, \cdots $$ $$a_3 = (\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,0 \cdots,0, \cdots $$ $$\cdots$$ $$a_n =(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\cdots, \frac{1}{n},\frac{1}{n},0,0 \cdots,0, \cdots$$ donde en la anterior $\frac{1}{n}$ $n$ veces. Por lo $ a_{n}$ es una secuencia en la que el primer $n$ coordenadas se $ \frac{1}{n}$y el otro $0$. A continuación, tome $a_{n}$ $b=0$ donde $b=(0,0, \cdots ,0, \cdots)$.
Por lo $$ \rho( a_{n} , b )= \frac{1}{n} \rightarrow 0$$ eso significa que $a_n$ converge a $b$ $ \rho$

$$d( a_n , b )= \sum _{i=1}^{n} \frac{1}{n} =1$$ Eso significa que $a_n$ (una secuencia de secuencias) no converge a $b$ (secuencia cero) en el respeto a $d$