Si una secuencia infinita no tiene último elemento, ¿por qué decimos que el $\sqrt2$ es irracional?

Question

Los argumentos que he visto de ciertas raíces cuadradas de ser irracional (como $\sqrt2$) se reducen a prueba por contradicción de que si suponemos que p/q para ser totalmente reducido encontraremos que ambos p y q debe ser incluso (en el caso de $\sqrt2$) y :boom: la contradicción.

Pero si me permiten p a tener un número infinito de dígitos (válida miembro de los números enteros), entonces no tiene el último dígito y no puede ser clasificado como par o impar. A la derecha? La prueba por infinito descenso, por ejemplo, parece asumir que no podemos descender infinitamente pero, ¿por qué no? Debo estar perdiendo algo importante acerca de los números enteros.

Del mismo modo, ¿por qué no definir pi como la fracción 314159.../100000...? Creo que ambos son válidos los números enteros.

A menudo he oído a la gente libremente describir los números racionales como el conjunto de números cuyo decimal representaciones terminar o repetir, pero no veo lo que limita la construcción de una arbitrariamente grandes entero por un proceso infinito. Permite, por ejemplo, intento de construir el numerador del cociente anterior:

Paso 1: Construir el número 3 (1+1+1 = 3)
Paso 2: Construir 31 (3+1+1...+1 = 28)
Paso 3: Construir 314 (la idea)

Parece que podría seguir el proceso anterior indefinidamente y producir un número entero válido en cada paso. Porque es un proceso infinito ni un paso tiene un número finito de enteros, pero el número de este proceso se describe es ilimitado.

Es el número de este proceso se describe a continuación, no es un entero?

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Actualización Como comentaristas y ms responden a esta pregunta han señalado, mi pregunta se supone que un número con un número infinito de dígitos que se podría llamar un número entero. De que la suposición subyacente de que ha confundido a algunos lectores de mi pregunta, así que he editado el anterior en un intento de hacer que la carne de mi pregunta más clara.

Para ese fin, me gustaría señalar que la esencia de mi pregunta es muy similar o un duplicado de Un "número" con un número infinito de dígitos es un número natural?.

Answer 1

Ni $314159\ldots$ ni $100000\ldots$ son números enteros válidos. Los números enteros se caracterizan por ser finito secuencias de dígitos. Los números enteros no puede ser infinito; que es exactamente lo que queremos decir con la palabra "entero".

Los enteros son números de contar (y sus negativos); es decir, que son los números uno podría utilizar para contar. Usted no puede contar a $100000\ldots$ - para una cosa, no hay un "anterior" número para contar. La idea clave es que los números enteros son los números que pueden "ver"; puedo mostrarle $43$ ovejas, y, en principio, podría mostrarles $43000000000$ ovejas, pero no puedo mostrar de manera convincente $\pi$ ovejas. Los números racionales son números que se pueden crear usando comparaciones entre los números podemos "ver"; Jack puede tener $1.5$ veces como tantas ovejas como a Jill, pero él no puede tener $\sqrt{2}$ veces como tantas ovejas como Jennifer, no importa lo que el número de ovejas que Jennifer tiene. Permitiendo a los números enteros que tienen un número infinito de dígitos iría en contra de este "concreto" idea de lo que un entero es, entonces definimos enteros para ser sólo finita.

Answer 2

No hay tal cosa como un número entero con un número infinito de dígitos.

Con un poco de ingenio es posible definir la aritmética infinita cadenas de dígitos (es más fácil si están infinito hacia la izquierda, que conduce a "10-ádico enteros", que a pesar de la confusa nombre en realidad no son enteros), pero el resultado de esto no va a ser lo que llamamos enteros.

Una definición de lo que es un (positivo) número entero es:

• $1$ es un entero positivo.
• Si $a$ es un entero positivo, entonces $a+1$ es también un entero positivo.
• Nada más es un entero positivo.

Ahora consideremos el conjunto de números que puede ser escrito tal, que tiene un primer y el último dígito. Esto ciertamente incluye a $1$, y la adición de $1$ a algo en este juego te llevan de nuevo a un miembro del conjunto.

De acuerdo a la definición anterior, esto significa que todo lo de fuera que establece cae bajo la "nada más es un entero positivo" cláusula -- o, en otras palabras, cada entero positivo tiene la propiedad de que tiene un primer y el último dígito (cuando escriben en base diez).

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En su editada pregunta que usted describe una secuencia de números enteros, pero que tiene una secuencia de cada vez más grandes, enteros es, por mucho, no es lo mismo que tener construido un entero con un número infinito de dígitos. La matemática es, en general, cuidado de las nociones de "completado el proceso infinito" -- son muy útiles como una técnica de visualización, por lo que usted verá a menudo ese tipo de descripción en conversaciones informales, pero también pueden dar lugar a resultados falsos, por lo que no son aceptados como los argumentos de la verdad a menos que esté claro cómo se pueden reducir a las precisas definiciones sin ningún infinitary handwaving.

En el cálculo y análisis, esta reducción a la definición por lo general pasa a través del concepto de límites, pero que no funciona en su caso, porque no cada secuencia tiene un límite, y el suyo en particular no. Así, dado que el habitual suposición no trabajo aquí, la responsabilidad recae ahora estaría en la que explique cómo su infinita-proceso de imágenes se reduce a hormigón atemporal hechos. Y usted no puede hacer eso sin alguna manera de salir del ámbito de lo que llamamos enteros.

(La cosa más cercana que puedo pensar de aquí sería algo esotérico de la zona de "no-estándar a través de análisis de ultraproducts", en el que el proceso hace que tenga algún sentido y produce un "no-estándar de número racional cuya diferencia de $\pi$ es infinitesimal, pero distinto de cero". Por supuesto, la no-estándar racionales de la no-estándar de análisis no son lo que generalmente llamamos racionales).

Intuitivamente, sin embargo, usted puede pensar acerca de esto: Usted parece decir que su proceso infinito no conserva la propiedad de "tener un primer y un último dígito" -- cada elemento en la secuencia que tiene esta propiedad, pero la cosa que demanda resultados al final no. Por otro lado, estás asumiendo tácitamente que su proceso no conserva la propiedad de "ser un número entero" -- ¿por qué? Una vez que aceptamos que el proceso no conserva todas las propiedades, tiene que haber algo en particular, acerca de "ser un número entero" que lo hace ser preservado, antes de que podemos asumir que es.

Answer 3

Pero si me permiten la $p$ a que tienen un número infinito de dígitos (un miembro válido de los números enteros), entonces no tiene el último dígito y no puede ser clasificado como pares o impares. A la derecha?

Uno tiene que ser cuidadoso acerca de los números y su representación como una secuencia de símbolos.

Permítanme señalar algunos problemas con extensión a las representaciones con una cantidad infinita de dígitos:

Para nuestro habitual de la representación decimal de un número entero no negativo con $m\in \mathbb{N}$ dígitos de $D = \{ 0, \dotsc, 9 \}$ y semántica $$ (\cdot)_{10} : D^m \to \mathbb{N} \\ (d_{m-1} \dotsb d_0)_{10} = \sum_{k=0}^{m-1} d_k 10^k $$

necesitamos un último dígito $d_0$.

De hecho, el significado del primer dígito $d_{m-1}$ de esa palabra, como un múltiplo de $10^{m-1}$, sólo sabemos porque empezamos la asignación de los poderes de la $10$ desde el extremo derecho de la secuencia de dígitos símbolos.

Una secuencia infinita de dígitos ($\omega$-palabra) da como $$ 3\dotsb $$ que podemos interpretar como una secuencia infinita de dígitos comenzando con un $3$ dígito símbolo, no es útil, ya que nos da ninguna pista de lo $3$-múltiples de algunas de alimentación de la base de $10$ es de: Tres decenas? Cientos? Bazillions?

Si queremos crecer el dígito de la secuencia para el otro lado $$ \dotsb 3 $$ o utilizar una menos ambiguo en notación para especificar el $\omega$-palabra, como por ejemplo la palabra del idioma aceptado de un autómata de Büchi, la situación no es mucho mejor: Si la secuencia de honores de la convención de no usar el líder de $0$ dígitos debe mostrar que no sea cero dígitos repetidamente (de lo contrario, tuvimos una secuencia finita) y la extendida semántica $$ (.)_{10} : D^\omega \to \mathbb{N} \\ ((d_k))_{10} = \sum_{k=0}^{\infty} d_k 10^k $$ sería infinito. Por desgracia todos los números enteros son finitas de valor, y no existe ningún entero más grande. Así que esto no es una representación útil para un número entero.