Demostrar que $T(x^* + W^{\perp}) = y^*$ es un isomorfismo isométrico de $V^*/W^\perp$ $W^*$

Question

Deje $(V, \| \cdot \|)$ ser una normativa espacio vectorial y $W$ ser un subespacio lineal.

Demostrar que $T: V^*/W^{\perp} \to W^*, \ T(x^* + W^{\perp}) = y^*$ donde $y^*(x) = x^*(x)$ todos los $x \in W$, es un isomorfismo isométrico.

$\perp$ denota el annihilator, y $*$ el doble. Había un atisbo incluido que dijo

"El primer espectáculo que $W^{\perp}$ es un cerrado lineal subespacio de $V^*$. Demostrar que $T$ es un bien definido por el operador lineal. Para mostrar que $T$ es un isomorfismo isométrico aplicar la de Hahn-Banach teorema."

Estoy atascado en la última parte. Deje $y^* \in W^*$ luego de Hahn-Banach tenemos que $\exists \ x^* \in V^*$ s.t $x^* = y^*$$W$, e $\|x^*\|_{V^*} = \|y^* \|_{W^*}$. Pero, ¿cómo puedo llegar a $\|T(x^* + W^{\perp})\|_{W^*} = \|x^*+ W^{\perp}\|_{V^*/W^{\perp}}$?

Answer 1

La norma en el cociente debe ser definido como de costumbre: $$ \|x^* + W^\asesino\| := \inf\{ \|x^* + y^*\| \colon y^* \W^\asesino\}. $$

Vamos a mostrar primero que $\|T(x^* + W^\perp)\| \leq \|x^* + W^\perp\|$.

Para todos los $y \in W^\perp$ calculamos:

$$ \|T(x^* + W^\asesino)\| = \sup_{x \in W_1} |x^*(x)| = \sup_{x \in W_1}|x^*(x) + y^*(x)| \leq \sup_{x \in V_1}|x^*(x) + y^*(x)| = \|x^* + y^*\|, $$ donde $W_1$ $V_1$ denotar la unidad de bolas en $W$ $V$ respectivamente.

Esto prueba la primera reivindicación, pasando el infimum.

Ahora mostramos $\|T(x^* + W^\perp)\| \geq \|x^* + W^\perp\|$.

Deje $T(x^* + W^\perp) \in W^*$. Por Hahn-Banach, existe alguna extensión de $v^* \in V^*$ con $$x^*(z) = T(x^* + W^\perp)(z) = v^*(z)$$ for all $z \W$ y $$\|T(x^* + W^\perp)\| = \|v^*\| \tag{1}.$$ Por constructionem, tenemos $$v^* + W^\perp = x^* + W^\perp \tag{2}$$ since for all $z \W$ we have $(v^* - x^*)(z) = v^*(z) - x^*(z) = 0$, i.e. $(v^* - x^*) \W^\asesino de dólares. En particular, (2) da $$ \|v^* + W^\asesino\| = \|x^* + W^\asesino \|. \etiqueta{3} $$

Esto le da $$ \|x^* + w^\asesino\| \desbordado{(3)}{=} \|v^* + W^\asesino\| \leq \|v^*\| \desbordado{(1)}{=} \|T(x^* + W^\asesino)\|, $$ donde la segunda desigualdad se cumple ya que el cociente de asignación de $x^* \mapsto x^* + W^\perp$ es siempre una contracción.