Los volúmenes de + las Áreas de la Superficie de la Esfera con el Cálculo: la Paradoja?

Question

Tengo una observación interesante, lo que parece ser una aparente contradicción.

Calculamos el volumen de la esfera, obtenemos como $$\int_{-R}^R \pi (\sqrt{R^2-y^2})^2 dy$$ porque la vemos como, cilindro circular con la altura dy.

Calculamos el área de la superficie de la esfera, obtenemos como $$\int_{-R}^R 2*\pi \sqrt{R^2-y^2} dy$$ porque la vemos como, cilindro circular fuera con la altura dy.

Primera integral, así que supongo que es lo correcto. $\frac{4}{3} \pi R^3$. No hay ningún problema. Pero a continuación, busque la segunda integral, se obtiene, $\pi^2 R^2$! ¿Qué es la discrepancia aquí, y lo que está mal.

Answer 1

Es una buena observación, mostrando que uno tiene que ser muy cuidadoso al tratar con la forma de aproximaciones a través de las sumas de Riemann. Es fácil de hacer, un error aquí. Para visualizar mejor lo que está pasando, vamos a ver un ejemplo en $\mathbb{R}^2$ donde el "volumen" es de la zona y la "superficie" es la longitud, es decir, todo tiene una dimensión menos.

Cuando se introduce una integral de Riemann tomamos constante a trozos aproximaciones de $f(x)$ y aproximar la integral por la suma de todos los pequeños rectángulos. (En su caso es circular cilindros en la primera integral). Por lo que el área gris en la imagen está cerca del área bajo la gráfica.

Si quisiéramos calcular el gráfico de longitud en su lugar, necesitamos otro tipo de aproximaciones por un modelo lineal por tramos de la curva (la de azul en la segunda imagen) - para que el rojo de la longitud se aproxima por la suma de todos los azules longitudes $\Delta L$.

Si en el segundo caso que por error toma un pedazo de sabios constante de aproximación como en el primer caso (el horisontal verde longitudes $\Delta x$) entonces obtenemos la suma de todos los $\Delta x$ a ser exactamente la longitud del intervalo $[a,b]$, que es el mismo para todas las curvas, y, por supuesto, no tiene nada que ver con el rojo de la longitud.

Precisamente lo mismo que sucede en su segunda integral de la aproximación de la superficie. Se puede visualizar el volumen y el área de la superficie por la rotación de la superficie y la longitud en el ejemplo anterior.