Si $f$ es estrictamente creciente en función de los naturales a los productos naturales, y $f(f(x))=3x$, ¿cuáles son todos los valores de $f(2012)$? Sólo he probado que $f(3x)=3f(x)$, pero que consigue en ninguna parte :(
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user11066
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La proposición. $f(1) = 2$, $f(2) = 3$.
Prueba. $f(1)$ no puede ser $1$ lo contrario, tendría que
$$
3 = f(f(1)) = f(1) = 1
$$
Por lo $f(1) > 1$ y desde $f$ es estrictamente creciente, $f(x) > x$ por cada $x$.
Ser $3 = f(f(1)) > f(1)$, la única posibilidad es $f(1) = 2$.
Finalmente, $f(2) = f(f(1)) = 3$. $\blacksquare$
La proposición. $f(3^n x) = 3^n f(x)$.
Prueba. Esto es una consecuencia directa de la relación $$ f(3x) = f(f(f(x))) = 3f(x)\; \blacksquare $$
La proposición. Si $3^n < x \leq 2\cdot 3^n$$f(x) = 3^n + x$.
Prueba. Es suficiente señalar que no son exactamente $3^n$ números entre el$3^n$$2\cdot 3^n$, y exactamente $3^n$ números entre $$ f(3^n) = 3^nf(1)= 2\cdot 3^n $$ y $$ f(2\cdot 3^n) = 3^nf(2) = 3^{n +1} \; \blacksquare $$
La proposición. Si $2\cdot 3^n < x \leq 3^{n + 1}$$f(x) = 3x - 3^{n + 1}$.
Prueba. Desde $3^n < x - 3^n \leq 2\cdot 3^n$, la proposición anterior implica $f(x -3^n) = x$ y por lo tanto $$ f(x) = f(f(x - 3^n)) = 3x - 3^{n + 1} \; \blacksquare $$
Ser $2\cdot 3^6 < 2012 \leq 3^7$, a partir de la última proposición se puede concluir $$ f(2012) = 3\cdot 2012 - 3^7 = 3849 $$
