¿Cómo se utiliza la definición de observadores en la Relatividad General?

Question

Creo que la mejor manera de resumir la idea de los observadores utilizados en casi todo tratamientos de la Relatividad Especial estándar es lo que dice Schutz en su libro de Relatividad General:

Es importante darse cuenta de que un "observador" es, de hecho, un enorme sistema de recogida de información, no simplemente un hombre con prismáticos. De hecho, eliminaremos por completo el elemento humano de nuestra definición, y diremos que un observador inercial es simplemente un sistema de coordenadas para el espaciotiempo, que realiza una observación simplemente registrando la ubicación $(x,y,z)$ y el tiempo $(t)$ de cualquier evento.

Continúa más adelante:

Puesto que cualquier observador es simplemente un sistema de coordenadas para el espaciotiempo, y puesto que todos los observadores miran los mismos sucesos (el mismo espaciotiempo), debería ser posible dibujar las líneas de coordenadas de un observador en el diagrama del espaciotiempo dibujado por otro observador. Para ello tenemos que hacer uso de los postulados de la RS.

Así, en la relatividad especial, un observador se ajusta a un sistema de coordenadas cartesianas y se piensa que puede observar los acontecimientos en todo el espaciotiempo. Esto permite preguntas como:

Supongamos que un observador $\mathcal{O}$ utiliza las coordenadas $t,x$ y que otro observador $\overline{\mathcal{O}}$ con coordenadas $\overline{t},\overline{x}$ se mueve con velocidad $v$ en el $x$ -dirección relativa a $\mathcal{O}$ . ¿Dónde están los ejes de coordenadas para $\overline{t}$ y $\overline{x}$ ir th en el diagrama espacio-temporal de $\mathcal{O}$ ?

En cambio, en la Relatividad General las cosas son diferentes. Un observador es definido como una línea del mundo dirigida por el tiempo $\gamma : I\subset \mathbb{R}\to M$ junto con una base ortonormal $e_\mu : I\to TM$ en $\gamma$ Es decir, $e_\mu(\tau)\in T_{\gamma(\tau)}M$ con $e_0 = \gamma'$ . Esta definición parece muy estándar .

Por lo tanto, un observador es extremadamente local. Es muy diferente que en la RS. En particular, ¿qué sentido tendría "describir la línea del mundo de otro observador como parece el primer observador"? Aquí esto no tiene ningún sentido. Un observador sólo puede hablar de eventos en su línea del mundo, así que si dos observadores se encuentran en algún evento, podemos tratar de relacionarlos allí, pero no podemos hablar de "el movimiento de un observador como parece por el otro".

Aparte de eso, un observador no lleva estructura matemática para hacerlo. En esta definición el observador podría sólo asignar componentes a los tensores en los eventos en los que participa. No puede describir la línea del mundo de las partículas u otros observadores, ni nada por el estilo. No tiene un sistema de coordenadas con él y, de nuevo, sólo conoce los eventos en su línea del mundo.

Esto parece hacer que los observadores estén bastante limitados en la práctica en la RG. Y no entiendo cómo se utilizan, si están tan restringidos a los eventos en sus líneas de mundo. De nuevo en SR podemos hacer mucho con ellos porque asociamos observadores y sistemas de coordenadas, esto es también lo que da sentido a las coordenadas.

Entonces, en la RG, ¿cómo se utilizan realmente los obervadores en contraste con la RS?

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante. Tienes razón en la relatividad general, los observadores no pueden extraer cantidades medibles de una partícula de prueba o comparar información dependiente del marco con otro observador, a menos que se encuentren en el mismo punto o se acerquen lo suficiente como para que el espaciotiempo pueda ser considerado, efectivamente, como plano y entonces se recupere una situación similar a la de SR. En la relatividad general, la transformación de Lorentz entre dos marcos sólo es posible localmente . Esta es una situación bastante diferente a la de la RS. Y de hecho esto limita el papel de la noción de observador en la relatividad general y en la cosmología. Por eso en la relatividad general las magnitudes físicas significativas son las que son independientes del observador, como el elemento de línea, el tiempo propio y las otras magnitudes tensoriales (el tensor métrico $\bf{g}$ , tensor de fuerza electromagnética $\bf{F}$ etc.).

Sin embargo, esta es una situación bastante realista; porque los observadores de la vida real sólo pueden medir las cantidades físicas localmente. Las cantidades medibles, como la intensidad del campo eléctrico, la intensidad del campo magnético y, en general, el tensor energía-momento, son cantidades locales. El tensor de energía-momento, escrito de la siguiente forma (en la forma de componentes), $G_{ab}(x)=-\kappa T_{ab}(x)$ sólo tiene sentido en un gráfico $(U,x)$ y un gráfico sólo proporciona información sobre la región localizada $(U)$ en el colector.

¿Por qué el observador en SR difiere del observador en GR?

La respuesta es puramente matemática: porque las variedades, en general, no tienen estructura de espacio vectorial. El vector de posición y, por lo tanto, las coordenadas sólo tienen sentido en un espacio vectorial, pero en un múltiple el vector de posición pierde su significado. En un colector general, para hablar de coordenadas tenemos que centrarnos en una región localizada del colector, la carta, isomorfa a $R^d$ ( $d=$ dimensión del colector). Ahora bien, SR considera que el espaciotiempo es minkowskiano, lo cual es, curiosamente, isomorfo a $R^d$ globalmente o en su conjunto, y por lo tanto tienen una estructura tanto de colector como de espacio vectorial. Por lo tanto, los observadores en SR pueden establecer coordenadas (o marco(s) de referencia) que pueden abarcar todo el espaciotiempo. Como resultado, la transformación de Lorentz entre los marcos de referencia establecidos por dos observadores es válida en todo el espaciotiempo. Pero en la RG, en presencia de la gravedad, el espaciotiempo es una variedad curvada. Por tanto, los observadores no pueden establecer marcos de referencia que exploren todo el espaciotiempo, lo que hace que el papel del observador sea extremadamente local, como has dicho. Como señaló @Emil en el comentario, un observador puede sin duda transportar paralelamente su espacio tangente (el marco de referencia del observador), a la ubicación de otro observador y luego facilitar la transforamción de Lorentz o cualquier otra, pero esto no ayuda a la situación, ya que los dos observadores tienen que encontrarse en el mismo punto (¡por eso el transporte!). Por lo tanto, los observadores en la RG sólo pueden medir y contabilizar las observaciones locales.

Las mediciones de los observadores son locales, pero esto no implica que las inferencias globales sean imposibles

La clave aquí es la simetría. Si las cantidades que nos interesan siguen un patrón, no es necesario explorar todo el espaciotiempo, sino que se puede extrapolar un estudio sobre una región local para averiguar la estructura global del espaciotiempo. Por ejemplo, en cosmología se asume la existencia de seis campos vectoriales de matanza en el espacio, lo que implica esencialmente que la distribución de la materia en el universo es homogénea e isotrópica en el espacio, por supuesto a gran escala. Este es el tipo de distribución de materia más simple posible. Debido a la simetría de la métrica, el universo tiene una curvatura espacial constante en todas partes. Ahora, cualquier medida local de la curvatura espacial revela la geometría global del espaciotiempo. A partir de la información del tensor métrico, también se puede averiguar, si es posible, la transformación espacial conforme y estudiar mucho sobre las propiedades globales del espaciotiempo.

Cómo utilizar los observadores en la RG

El enfoque de la RG en el que se utilizan marcos de observación se conoce como formalismo de la tétrada o Formalismo de Cartan . En cada punto de la variedad curvada, es posible construir tramas (vierbein), que consisten en cuatro conjuntos ortonormales de vectores { $e^\alpha_a$ } (un vector temporal y tres espaciales), es decir, es posible construir un haz de tramas en la variedad. Ahora bien, un observador es, precisamente, una sección suave en el haz de tramas. Una sección en el haz de tramas es una curva integral del vector temporal ( $e^\alpha_0$ ). Y los tres vectores espaciales unidos a los vectores temporales forman una tríada espacial { $e^\alpha_1,e^\alpha_2,e^\alpha_3$ }. Aquí los índices griegos denotan las coordenadas de la carta en el colector y los índices romanos denotan las coordenadas del marco local. En el marco local la métrica es la métrica ordinaria de Minkowsk (planitud local). La relación entre la métrica del colector y la métrica del marco es la siguiente, $$e^\alpha_ae^\beta_bg_{\alpha\beta}=\eta_{ab}$$ Y, $$e^a_\alpha e^b_\beta \eta_{ab}=g_{\alpha \beta}.$$ Así, cualquier cantidad tensorial puede ser definida en los marcos o cofradías (secciones en el haz co-tangente o cofradía), por ejemplo, el tensor métrico puede ser expresado en la cofradía como, $$g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{{i=1}}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},$$ donde para el vacío de Schwarzschild los sigmas son, $$ \sigma^0 = -\sqrt{1-2m/r} \, dt, \; \sigma^1 = \frac{dr}{\sqrt{1-2m/r}}, \; \sigma^2 = r d\theta, \; \sigma^3 = r \sin(\theta) d\phi.$$ Es conveniente cambiar la base de { $e^\alpha_a$ } a { $l^\alpha,n^\alpha,m^\alpha,\bar m^\alpha$ }, definida como, $$l^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_0+e^\alpha_1),$$ $$n^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_0-e^\alpha_1),$$ $$m^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_2+ie^\alpha_3),$$ y $\bar m^\alpha$ es el complejo conjugado de $m^\alpha$ . Como estos vectores siguen las siguientes propiedades, $$l^\alpha l_\alpha=n^\alpha n_\alpha=m^\alpha m_\alpha=\bar m^\alpha \bar m_\alpha=0,$$ el conjunto { $l^\alpha,n^\alpha,m^\alpha,\bar m^\alpha$ } se llama la tétrada nula. Como la tétrada nula está relacionada con el tensor métrico de la siguiente manera, $$g_{\mu \nu}=l_\mu n_\nu+l_\nu n_\mu-m_\mu \bar m_\nu-m_\nu \bar m_\mu,$$ se puede utilizar la tétrada nula para calcular varias cantidades tensoriales en los marcos locales y luego convertirlas de nuevo en el colector. Por ejemplo, E.T. Newman y A. I. Janis ( J. Math. Phys. 6, 915, 1965 ) utilizó esta técnica para producir una derivación sencilla de la métrica de Kerr.

Answer 2

VacuuM ha dado una excelente respuesta pero voy a decir algunas palabras más para aclarar algunas ideas.

Es un postulado de la física que los observadores inerciales deben medir lo mismo es decir, si un observador inercial $A$ establecer un experimento y un observador $B$ Si se realiza un experimento idéntico, el resultado debería ser el mismo. En la relatividad especial tenemos observadores inerciales globales mientras que en la relatividad general tenemos observadores inerciales locales. Veamos por qué.

Supongamos que en relatividad especial (espacio plano) un observador $A$ lanzar una pelota con velocidad $v$ a la pared, es decir, a la distancia $d$ en relación con este observador. Si este observador recibe la pelota con velocidad $v'$ que otro observador $B$ que hace el mismo experimento en su marco de reposo recibirá la pelota con la misma velocidad $v'$ . Ahora bien, en primer lugar en el espaciotiempo curvo no podemos tener una pared estática no local en relación con un observador. Doy este ejemplo por mi falta de imaginación. Pero suponiendo que pudiéramos tener una pared estática en relación a un observador si estos dos observadores hacen la misma experiencia que la velocidad que recibirán la pelota será diferente. Debido a la curvatura del espacio tiempo si el observador $A$ lanzar una pelota con velocidad $v$ llegará a la pared con una velocidad $v_A$ y si el observador $B$ lanzar la pelota con la misma velocidad $v$ llegará a la pared con una velocidad diferente $V_B$ .Además si el observador $A$ hace la misma experiencia en un tiempo diferente tendrá un resultado diferente. Así que tenemos que permanecer localmente para tener un resultado coincidente entre observadores inerciales

Answer 3

Creo que la mejor manera de resumir la idea de observadores utilizada en casi todos los tratamientos de la Relatividad Especial estándar es lo que dice Schutz en su libro de Relatividad General: [...]

Puedo aceptar que esta es una descripción cuantitativa correcta de los tratamientos actualmente disponibles. Pero no puedo aceptar la caracterización de los observadores tal como la sugiere Schutz (y otros), porque parece negar lo que para mí es un elemento indispensable del discurso de (la parte geométrico-cinemática de) la teoría de la relatividad de Einstein, y de la relatividad especial en particular.

A saber, considerar observadores individuales identificables unidos a (o incluso identificados como) puntos materiales individuales identificables, tal y como describió repetida y coherentemente el propio Einstein (por ejemplo aquí y aquí ):

• cada uno de ellos capaz de observar e identificar y reconocer a los demás, y a su vez de ser observado y reconocido;

• Cada uno de ellos es capaz de conservar en la memoria las observaciones recogidas y de determinar qué observaciones ha recogido de forma coincidente o en qué orden;

al menos en principio, para la descripción y comprensión del pensamiento-experimento; y más o menos incluso en la práctica.

En cambio, en la Relatividad General las cosas son diferentes.

Aparentemente como lo representan Schutz et al.; pero ciertamente no para la noción de observador como individuo capaz de recoger y ordenar observaciones.

[...] junto con una base ortonormal

Lo que, en primer lugar, plantea la cuestión de cómo un observador individual debe determinar dicha base.

[Un observador] no puede describir la línea del mundo de las partículas o de otros observadores, ni nada por el estilo. [...]

Seguramente cualquier observador puede (pensarse) observar y reconocer a otros que hayan observado sus propias indicaciones (señales); y en consecuencia, señal por señal, determinar los ecos de ping correspondientes que se hayan recibido de vuelta en coincidencia, o en qué orden, o "todavía no". Esta capacidad se atribuye a los observadores ya en la presentación inicial de Einstein de la RS, 1905.

De las interrelaciones entre tales determinaciones de los observadores individuales se derivan las descripciones de sus relaciones geométricas colectivas entre sí; como los "entramados de ping-coincidencia" descritos aquí .

[...] lo que da sentido a las coordenadas.

El posible salpicado de sucesos (o igualmente: de observadores seleccionados, y de sus conjuntos individuales ordenados de indicaciones) con tuplas de coordenadas, con el fin de representar las relaciones geométricas entre los sucesos (o igualmente: para representar las relaciones de marco entre los observadores seleccionados) a través de las propiedades topológicas o incluso métricas "naturales" de las tuplas de números reales, es por supuesto sólo posterior y secundario a la determinación de las relaciones geométricas consideradas.