La forma cerrada de la fórmula para la suma siguiente

Question

¿Alguien sabe de una forma cerrada de la fórmula para la suma de $\sum_{n = 1}^\infty x^{2^n-1}$? Podemos suponer que $0<x<1$.

Gracias!

Answer 1

Además de la discusión de este tema se encuentra disponible aquí (salvo que el tema se refiere a las sumas parciales). Sin embargo, me hizo dar una estimación en esta respuesta, lo que da:

$$ -\frac{\mathrm{Ei}\left(\log (x)\right)}{x\log (2)} \le \sum_{i=0}^\infty x^{2^i - 1} \le -\frac{\mathrm{Ei}\left(\frac{\log (x)}{2}\right)}{x\log (2)} $$

Donde $\mathrm{Ei}(x)$ es la Integral Exponencial.